空间中的平行关系

在空间中说两条线、线与面、两个面平行，先要指出对象是哪一类。两条不同直线平行，意味着它们共面而且没有交点；若只是不相交，还可能是异面直线。一条直线与平面平行，本文专指没有公共点，而非直线恰好包含在平面内。

两条直线是否平行

若直线 $\ell$ 的方向向量为非零 $𝐝$，直线 $m$ 的方向向量为非零 $𝐞$，则 $𝐝=t𝐞$（某个非零实数 $t$）说明两线方向相同或相反。再比较它们是否有公共点：有公共点则重合，没有公共点才是两条不同的平行线。方向不成比例且找不到公共点，则是异面直线，不能归入“平行”。

线平行于面：方向留在面内，位置留在面外

把平面写成 $𝐧\cdot 𝐱=c$，其中非零向量 $𝐧$ 垂直于平面。直线上的点写成 $𝐩+t𝐝$。代入平面方程得到 $$𝐧\cdot (𝐩+t𝐝)=𝐧\cdot 𝐩+t(𝐧\cdot 𝐝).$$ 若 $𝐧\cdot 𝐝=0$，沿直线走时左边不变：当 $𝐧\cdot 𝐩\ne c$，整条直线都不碰平面，才是线面平行；当 $𝐧\cdot 𝐩=c$，整条直线都在面内。少检查最后一个条件，会把“在面内”错写成“与面平行”。

先验方向与平面平行，再看直线上的一点是否落在平面内。

例如平面 $2x-y+z=0$ 的法向量为 $(2,-1,1)$。直线 $(x,y,z)=(0,0,1)+t(1,1,-1)$ 的方向与法向量的内积为 $2-1-1=0$；起点代入左边得 1，不等于零。沿线任意点代入仍得 1，所以直线与平面平行而不在面内。把起点换成 $(0,0,0)$、方向不变，则整条线落在平面内。

不用坐标也可判定：若一条不在平面 $\alpha$ 内的直线 $\ell$ 平行于 $\alpha$ 中某直线 $m$，则 $\ell \parallel \alpha$。假设 $\ell$ 与 $\alpha$ 相交于 $P$；平面内过 $P$ 且平行于 $m$ 的直线只有一条，它就是 $\ell$，与“$\ell$ 不在面内”矛盾。

两个平面

平面 $z=0$ 与 $z=2$ 的法向量都指竖直方向，却没有公共点，因此平行；$z=0$ 与 $x=0$ 的法向量不平行，它们相交于 $y$ 轴。一般地，两个平面的非零法向量成比例时，两平面可能重合或平行且不同；还须检验一个平面上的点是否落在另一个平面内。

练习：直线 $(1,0,2)+t(2,1,0)$ 与 $z=0$ 的关系如何？方向的第三分量为零，沿线高度始终是 2，故直线与平面平行，没有交点。若把起点第三坐标改成零，同一方向会使直线落在面内。

参考资料

• OpenStax，Calculus Volume 3，§2.5：直线方向与平面法向量。
• 继续阅读：空间点线面的位置关系、空间中的垂直关系、平面向量基本定理与坐标表示。