空间中的垂直关系

垂直描述两个方向成直角。两条相交直线、直线与平面、两个相交平面各有相应的判定条件；只看到纸上的一个直角，并不足以证明空间中的整组方向都满足条件。数量积能把“方向成直角”写成等于零的算式。

一条线垂直一个面

若一条直线与平面相交，并且垂直于平面内过交点的每一条直线，则称它垂直于该平面。实际上只需检验平面内两条相交直线：它们给出平面中的两个不共线方向 $𝐮, 𝐯$ 。若待检直线方向 $𝐝$ 满足 $𝐝 \cdot 𝐮 = 𝐝 \cdot 𝐯 = 0$ ，那么任意平面方向 $a 𝐮 + b 𝐯$ 都满足 $𝐝 \cdot (a 𝐮 + b 𝐯) = a (𝐝 \cdot 𝐮) + b (𝐝 \cdot 𝐯) = 0.$ 因此两条相交的检验线就足以覆盖整个平面。仅垂直于面内一条线不够：在水平面 $z = 0$ 内， $x$ 轴与 $y$ 轴互相垂直，但 $x$ 轴仍在水平面内，绝非垂直于整个水平面。

一条竖直线在平面一点竖起，平面内两条相交方向分别与它成直角；单看其中一条水平线不足以确定整面垂直 — 面内两个不共线方向张成整面；同时垂直于它们才垂直于面内所有方向。

若平面方程为 $𝐧 \cdot 𝐱 = c$ ，非零 $𝐧$ 是其法向量；直线垂直于面当且仅当其方向与 $𝐧$ 成比例。以 $z = 0$ 为例，法向量 $(0, 0, 1)$ ，过 $P = (2, - 1, 3)$ 的竖直线到平面的垂足是 $(2, - 1, 0)$ ，距离为 3。沿斜线到面上的某点可能更远，垂直段才是点到面的距离。

两个平面的直角

两个相交平面的夹角可由各自法向量的夹角判定；若法向量数量积为零，两平面垂直。平面 $z = 0$ 与 $x = 0$ 分别有法向量 $(0, 0, 1)$ 、 $(1, 0, 0)$ ，数量积为零，两面沿 $y$ 轴相交且成直角。若把平面画成有限四边形，四边形在纸面上的夹角可能被投影改变；数量积检查的是实际三维方向。

一条直线同时垂直于同一平面内两条相交线的判定，与两个基方向张成平面是同一结构。读者能说出两条线为何必须相交或方向不共线，才真正使用了定理。

练习：平面 $2 x - y + 2 z = 0$ 的法向量是 $(2, - 1, 2)$ 。方向为 $(4, - 2, 4)$ 的直线与它垂直，因为方向是法向量的两倍；方向为 $(1, 2, 0)$ 的直线与法向量数量积 $2 - 2 = 0$ ，只能说明它的方向平行于平面，还需检查位置才能判断线与面是否有交点。

参考资料

OpenStax，Calculus Volume 3，§2.5：法向量与线面、面面关系。
继续阅读：空间中的平行关系、空间点线面的位置关系、向量的内积。