级数重排

级数重排是将一列项各用一次、但改变出现顺序。对有限和，顺序无关；对无穷级数，必须顾及极限。若 $\sum a_n$ 绝对收敛，任何重排仍收敛到同一个和。若只是条件收敛，重排可能改变和，甚至使部分和不收敛。

交错调和级数的具体重排

原级数 $S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots$ 条件收敛。改按“两项正数、一项负数”排列： $$T=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\cdots .$$ 分组到第 $m$ 个负项后， $$T_m=\sum _{k=1}^{2m}\frac{1}{2k-1}-\sum _{k=1}^m\frac{1}{2k}=S_{2m}+\sum _{k=m+1}^{2m}\frac{1}{2k-1}.$$ 最后一项与 $\frac{1}{2}\sum _{k=m+1}^{2m}1/k$ 的差趋于 0，故趋于 $(\log 2)/2$；因为 $S=\log 2$，这个重排的和是 $3\log 2/2$，与原和不同。这里的有限部分和等式可以逐项核对；分组改变了正负项抵消发生的时机。

更一般地，实数条件收敛级数的正项和趋于 $+\mathrm{\infty }$、负项和趋于 $-\mathrm{\infty }$。否则两边各自有限，绝对值级数也会收敛。于是可先取若干正项超过目标，再取若干负项低于目标，如此交替；因为单项趋零，越界幅度趋零，得到指向该目标的重排。绝对收敛时这套构造做不到。

参考资料

• MIT 18.100B Real Analysis，级数重排讲义。
• MIT 18.100A Fall 2020，实分析讲义。
• 继续阅读：交错级数、绝对收敛与条件收敛。