耿贝尔分布

耿贝尔分布（Gumbel distribution）是第一型极值分布。本文采用描述最大值的右偏形式，以位置 $\mu \in ℝ$、尺度 $\beta >0$ 为参数；最小值形式可由取负变换得到，不能混用两者的尾方向。它是广义极值分布的零形状成员，但从指数样本最大值出发，可以直接看出这个分布怎样出现。

指数样本的最大值极限

令 $X_1,\dots ,X_n$ 独立同分布于率一指数分布，$M_n=\underset{i}{max}{X}_i$。对 $x\ge 0$，有 $Pr(M_n\le x)=(1-e^{-x}{)}^n$。最大值随样本数增长，需先减去 $\log n$：对固定实数 z，当 n 足够大时， $$Pr(M_n-\log n\le z)={(1-\frac{e^{-z}}{n})}^n⟶\exp [-e^{-z}].$$ 极限来自 $n\log (1-a/n)\to -a$，这里 $a=e^{-z}$。有限 n 时，若 $z<-\log n$，左边概率为零，不能把一个负底数的幂当作分布值。

有限样本CDF在支撑外置零；极限曲线为 exp(−exp(−z))。

在 z=0 处，n=20 的精确值为 $(19/20{)}^{20}\approx 0.358486$，极限为 $e^{-1}\approx 0.367879$。图比较的是已经中心化的最大值，原始指数变量本身并不服从耿贝尔分布。若原指数率为 λ，则应标准化为 $\lambda M_n-\log n$。

分布函数与指数变量变换

令 $Z$ 的累积分布为 $F_Z(z)=e^{-e^{-z}}$，定义 $X=\mu +\beta Z$。其密度为 $$f_X(x)=\frac{1}{\beta }\exp [-z-e^{-z}],z=(x-\mu )/\beta ,x\in ℝ.$$ CDF 从零增加到一，求导即为上式，故归一化，闭支撑为整条实轴。 另取率一指数变量 E，则 $Z=-\log E$ 满足 $$Pr(-\log E\le z)=Pr(E\ge e^{-z})=e^{-e^{-z}},$$ 提供了有限样本之外的精确构造。这里是“对一个指数变量取负对数”，与上一节“对很多指数变量取最大值后中心化”的机制不同，它与上一节中心化最大值的极限分布相同；有限 n 的最大值仍使用前述精确CDF。

标准变量的矩母函数为 $𝔼e^{tZ}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^{-t}{e}^{-u}\mathrm{d}u=\Gamma (1-t)$，定义域 $t<1$。因此所有正整数阶矩都存在。均值为 $\mu +\gamma \beta$，方差为 ${\pi }^2{\beta }^2/6$，其中 $\gamma \approx 0.577216$ 为欧拉—马歇罗尼常数。它不是自然常数 e；这些数值可由伽马函数在一处的导数给出。

重现水平与多年超越概率

由 $p=\exp [-e^{-(x-\mu )/\beta }]$ 逐步取两次对数，得到分位数 $$Q(p)=\mu -\beta \log [-\log p],0<p<1.$$ 若年最大值服从固定分布，将每年超越概率为 $1/T$ 的水平称为 T 年重现水平，$T>1$，于是 $$x_T=\mu -\beta \log [-\log (1-1/T)].$$ 这约定描述每年的超越概率，不表示每 T 年恰好发生一次。

在合成模型 $\mu =40,\beta =5$ 中，五十年重现水平为 $x_{50}=40-5\log [-\log 0.98]\approx 59.509693$，每年不超越概率为0.98。若各年最大值独立同分布，未来五十年内至少超越一次的概率是 $$1-(1-1/50{)}^{50}=1-0.98^{50}\approx \mathrm{0.635830.}$$ 因此“重现期五十年”与“五十年内超越概率为百分之二”是完全不同的陈述。

横轴 T>1，标记 T=50 的水平约为 59.51；这是合成模型的分位数。

作为变式，十年重现水平为 $40-5\log [-\log 0.9]\approx 51.251837$；独立十年内至少超越一次的概率为 $1-0.9^{10}\approx 0.651322$。若年份之间相关，上述乘幂就不能直接使用；若位置或尺度随年份变化，也不能把一个固定年概率重复相乘。

本族右尾按指数速度衰减，不适合用来精确表示任意幂律重尾。有限指数最大值与极限曲线之间的差距还说明：出现了一个极限分布，并不等于给定区组大小下的近似误差已经可以忽略。实际模型选择应检查尾部数据和区组划分，而不是只看“最大值”这个名称。