伯格斯方程

伯格斯方程（Burgers' equation）是一类同时表现非线性输运与黏性扩散的偏微分方程。常用的一维形式为 $u_{t} + u u_{x} = ν u_{x x},$ 其中 $u (x, t)$ 是标量状态， $ν \geq 0$ 是黏性或扩散系数。取 $ν = 0$ 得到无黏方程；取 $ν > 0$ 时，扩散会平滑陡峭变化。它是一种研究特征汇聚、激波、耗散和数值格式的简洁模型，具体应用中的变量含义仍须由建模过程给出。

非线性把较大的状态带得更快

在线性输运 $u_{t} + c u_{x} = 0$ 中，每部分以同一个常速 $c$ 移动。Burgers 无黏方程把这个速度换成状态自身：较大的 $u$ 有更大的特征速度。若剖面向右下降，左侧会追赶右侧，剖面变陡；若向右上升，邻近状态可能向外分开。

在解光滑的区域，由 $(u^{2} / 2)_{x} = u u_{x}$ 可写成守恒形式 $u_{t} + f (u)_{x} = ν u_{x x}, f (u) = \frac{u^{2}}{2} .$ 当 $u$ 表示速度时，其单位为长度除以时间，而 $ν$ 的单位是长度平方除以时间；三项的单位均为长度除以时间平方。若变量是别的量，则应先经过缩放或写出相应系数，不能只因方程外形相同就把量纲省去。

无黏解与第一次失去光滑性

给定光滑初值 $u (x, 0) = g (x)$ 。沿特征线，有 $d u / d t = 0$ 、 $d x / d t = u$ ，因而 $u = g (ξ), x = ξ + t g (ξ) .$ 在所研究的时空区域内，若第二式能唯一、光滑地反解为初始位置 $ξ = ξ (x, t)$ ，且 $1 + t g^{'} (ξ) \neq 0$ ，这个参数表示才给出经典解。求导得到 $u_{x} = \frac{g^{'} (ξ)}{1 + t g^{'} (ξ)} .$ 这条公式说明，状态本身保持初始大小，并不保证斜率有界。例如 $g (x) = - \tanh x$ 时，中心斜率为 $- 1 / (1 - t)$ ，在 $t ↑ 1$ 时爆破。此时需要延拓的是解的含义，而不是把多值的特征图当成物理解。

对阶跃初值 $u_{L} > u_{R}$ ，守恒与熵条件选出匀速激波，速度为 $s = \frac{f (u_{L}) - f (u_{R})}{u_{L} - u_{R}} = \frac{u_{L} + u_{R}}{2} .$ 反过来， $u_{L} < u_{R}$ 时选出稀疏波，其扇区内为 $u = x / t$ 。跳跃条件、熵筛选和完整 Riemann 算例见激波；无黏方程中，守恒与经典解的局部公式是不同层次的要求。^[1]

黏性行波的推导

现在取 $ν > 0$ ，寻找连接常状态 $u_{L} > u_{R}$ 的平滑移动剖面 $u (x, t) = U (z), z = x - s t - x_{0}, U (- \infty) = u_{L}, U (+ \infty) = u_{R},$ 并要求 $U^{'}$ 在远处趋于零。这里 $x_{0}$ 是任意平移。代入方程得 $(U - s) U^{'} = ν U^{″} .$ 对 $z$ 积分一次： $ν U^{'} = \frac{U^{2}}{2} - s U + C .$ 把两端极限分别代入，得到 $0 = u_{L}^{2} / 2 - s u_{L} + C$ 和 $0 = u_{R}^{2} / 2 - s u_{R} + C$ 。两式相减并利用两态不同，再次得到 $s = (u_{L} + u_{R}) / 2$ 。常数因此为 $C = u_{L} u_{R} / 2$ ，方程化为 $ν U^{'} = \frac{1}{2} (U - u_{L}) (U - u_{R}) .$ 令 $a = (u_{L} - u_{R}) / 2 > 0$ ，写 $U = s + a v$ ，就有 $v^{'} = \frac{a}{2 ν} (v^{2} - 1) .$ 在连接两态的内部， $- 1 < v < 1$ 。把方程分离为 $v^{'} / (1 - v^{2}) = - a / (2 ν)$ ，积分得 $artanh v = - a z / (2 ν) + C_{0}$ 。把积分常数吸收到平移 $x_{0}$ 中，再取双曲正切，得到行波 $U (z) = s - a \tanh \frac{a z}{2 ν} .$ 当 $z \to - \infty$ 时，双曲正切趋于 $- 1$ ，于是 $U \to s + a = u_{L}$ ；右端同理趋于 $s - a = u_{R}$ 。对 $ν > 0$ ，这是从大状态向小状态的下降层，并不提供任意向上跳的黏性连接。^[2]

一个可测量厚度的平滑层

取无量纲两态 $u_{L} = 3, u_{R} = 1$ ，则 $s = 2, a = 1$ ，设 $x_{0} = 0$ 。解为 $u (x, t) = 2 - \tanh \frac{x - 2 t}{2 ν} .$ 在 $t = 1 / 2$ ，层中心位于 $x = 1$ ，中心状态恒为二；中心斜率为 $- 1 / (2 ν)$ 。黏性分别为 $0.5, 0.2, 0.08$ 时，中心斜率分别为 $- 1, - 2.5, - 6.25$ 。这里比较的是具有相同两态和中心的行波族，各自的初始平滑层不同，不是同一个初值在不同黏性下的演化实验。

同在时间二分之一，三种正黏性下从三过渡到一的行波都以x等于一为中心，黏性越小曲线越陡 — 两侧状态和传播速度相同，变化的是过渡层厚度。图中的虚竖线标记中心，不代表光滑解出现了跳跃。

若把“层厚度”规定为跨越总高度的百分之十到百分之九十之间的距离，左、右对应状态分别为 $s + 0.8 a$ 与 $s - 0.8 a$ 。解出位置后，厚度为 $ℓ_{10 -- 90} = \frac{4 ν}{a} artanh (0.8) = \frac{2 ν}{a} \log 9.$ 所以本例 $ν = 0.2$ 时，厚度约为 $0.8789$ 。厚度的数值依赖如何取百分比，但它与 $ν / a$ 成正比这一尺度关系不变。

耗散与激波熵损失

对足够光滑的解，乘以 $u$ 并整理为散度形式： ${(\frac{u^{2}}{2})}_{t} + {(\frac{u^{3}}{3})}_{x} = ν {(\frac{u^{2}}{2})}_{x x} - ν u_{x}^{2} .$ 其中最后一项非正，给出黏性耗散。周期边界，或使所有边界通量消失且相关积分有限的条件下，对空间积分便有 $\frac{d}{d t} \frac{1}{2} \int u^{2} d x = - ν \int u_{x}^{2} d x \leq 0.$ 本节的连接非零常状态行波在整条实线上的 $\int U^{2}$ 发散，因此不能直接对它套用有限总能量公式；不过其梯度耗散积分仍有限。由 $U^{'} = - \frac{a^{2}}{2 ν} {sech}^{2} \frac{a z}{2 ν}$ 并令 $y = a z / (2 ν)$ ，可得 $\int_{ℝ} ν (U^{'})^{2} d z = \frac{a^{3}}{2} \int_{ℝ} {sech}^{4} y d y = \frac{2 a^{3}}{3} = \frac{(u_{L} - u_{R})^{3}}{12} .$ 最后一个积分可用 $r = \tanh y$ 化为 $\int_{- 1}^{1} (1 - r^{2}) d r = 4 / 3$ 。这个耗散量不随 $ν$ 改变：黏性减小时，层更薄、梯度更大，两者恰好配平。

无黏激波的二次熵 $η = u^{2} / 2$ 与熵通量 $q = u^{3} / 3$ 的集中损失为 $[q] - s [η] = - (u_{L} - u_{R})^{3} / 12$ ，其大小正好与上式一致。这说明小黏性层趋向跳跃时，耗散不会仅因过渡区宽度趋零而必然消失。严格的一般黏性极限还需相应的收敛理论，不能只凭画出的行波就推广到所有初值。

Cole–Hopf 变换

对正黏性，Burgers 方程还有一个特殊结构：可以从线性热方程生成非线性解。设 $θ (x, t) > 0$ 是足够光滑的热方程解 $θ_{t} = ν θ_{x x} .$ 令 $v = \log θ$ 。由 $θ_{x} = θ v_{x}$ 、 $θ_{x x} = θ (v_{x x} + v_{x}^{2})$ ，得到 $v_{t} = ν (v_{x x} + v_{x}^{2}) .$ 定义 $u = - 2 ν v_{x} = - 2 ν \frac{θ_{x}}{θ} .$ 逐项求导后，Burgers 方程的残差为 $u_{t} + u u_{x} - ν u_{x x} = - 2 ν \partial_{x} [v_{t} - ν v_{x x} - ν v_{x}^{2}] = 0.$ 这证明任何满足上述正性与光滑条件的 $θ$ 都生成一个黏性 Burgers 解。正性保证对数和除法有定义，并非可省略的技术条件。该变换及由热核表示解的公式见 Ivrii 的讲义。^[2]

例如，在整条实线上给定有界且适当光滑的初值 $g$ ，先构造 $θ_{0} (x) = \exp [- \frac{1}{2 ν} \int_{0}^{x} g (y) d y],$ 再用热核计算 $θ (x, t) = \frac{1}{\sqrt{4 π ν t}} \int_{ℝ} e^{- (x - y)^{2} / (4 ν t)} θ_{0} (y) d y .$ 有界的 $g$ 使 $θ_{0}$ 至多指数增长，高斯核使正时间积分收敛；核与初值为正，所得 $θ$ 也为正。最后取对数导数即得 $u$ 。在零时刻直接对 $\log θ_{0}$ 求导可恢复 $g$ 。这个流程把非线性求解放到一个明确的线性问题及变量变换中。

周期精确解的逐项核验

为了得到不需数值积分的例子，在周期 $2 π$ 的区间取 $θ (x, t) = 1 + \frac{1}{2} e^{- ν t} \cos x, t \geq 0.$ 它始终不小于 $1 / 2$ ，并且 $θ_{t} = - (ν / 2) e^{- ν t} \cos x = ν θ_{x x}$ ，因此生成 $u (x, t) = \frac{ν e^{- ν t} \sin x}{1 + \frac{1}{2} e^{- ν t} \cos x}, u (x, 0) = \frac{ν \sin x}{1 + \frac{1}{2} \cos x} .$ 这与前面的 $- \tanh x$ 初值、连接常状态的行波是三个不同例子。这里 $u$ 的周期平均值为零，因为它是周期函数 $\log θ$ 的导数；不是所有非零平均值的周期初值都能直接由周期正函数 $θ$ 这样表示。

黏性取四分之一时，周期精确解在时间零二和六的曲线逐步趋近零，每个时刻都在正负半轴呈对应起伏 — 这一例子的初始数据已经固定。不同颜色表示同一黏性解的不同时刻，可用于复核数值程序的误差与周期边界。

取 $ν = 1 / 4$ 时，在 $x = π / 2$ ，分母为一，故 $u = \frac{1}{4} e^{- t / 4}$ ；在 $x = 0$ 和 $x = π$ ，状态均为零。随着时间增加，分母一致远离零，分子一致趋零，故解一致趋向零。把这些点值、周期性和能量耗散一起核对，比只观察曲线“变平了”更能发现计算中的错误。

模型与计算的边界

若用特征尺度 $U$ 、 $L$ 缩放速度和空间，时间尺度取 $L / U$ ，方程成为 ${\tilde{u}}_{\tilde{t}} + \tilde{u} {\tilde{u}}_{\tilde{x}} = \frac{1}{R e} {\tilde{u}}_{\tilde{x} \tilde{x}}, R e = \frac{U L}{ν} .$ 这个无量纲比值比较对流与扩散。比值大时可能出现难以分辨的薄层，但不能因此忽略薄层内的扩散或熵损失。显式离散还要分别考虑对流与扩散的步长约束；具体稳定条件依赖格式，不能只写一个通用步长就保证所有算法正确。

Burgers 方程保留了非线性陡化和黏性平滑，却没有完整流体方程中的压力、不可压约束及多维涡结构。在交通流模型中，也要从流量—密度关系重新确定通量，再判断是否能经过变量变换联系到本方程；不能把所有守恒现象都等同于 $f (u) = u^{2} / 2$ 。

参考文献

↑ Stanford Math 220A，Conservation Laws，Burgers 方程的特征线、弱解及熵条件。访问日期：2026-10-20。
↑ ^2.0 ^2.1 Victor Ivrii，University of Toronto，Asymptotic and Perturbational Methods, §9.1: Burgers equation，黏性方程、极限与 Cole–Hopf 变换。访问日期：2026-10-20。

[cons-1] Stanford Math 220A，Conservation Laws，Burgers 方程的特征线、弱解及熵条件。访问日期：2026-10-20。

[ivrii-2] 2.0 ^2.1 Victor Ivrii，University of Toronto，Asymptotic and Perturbational Methods, §9.1: Burgers equation，黏性方程、极限与 Cole–Hopf 变换。访问日期：2026-10-20。

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