自由群

自由群是由一组指定符号生成、只施加群公理和逆元关系的群。两条表达式相等，只能通过删除或插入相邻的互逆符号得到；除这些必需的消去关系外，没有额外规定生成元之间的关系。

词与约化

取两个符号 $a,b$，再引入形式逆元 $a^{-1},b^{-1}$。从这四个符号组成的有限序列称为词；空词记为 $e$。例如 $a{b}^{-1}a$ 是一个词，而 $ab{b}^{-1}{a}^{-1}b$ 中的相邻 $b{b}^{-1}$ 可先消去，再消去 $a{a}^{-1}$，最后得到 $b$。

按相邻逆元消去：先消去 b 与 b 的逆元，再消去 a 与 a 的逆元。

没有相邻互逆符号的词称为约化词。两个约化词相乘时，先连接两个词，再从连接处开始消去相邻互逆符号，直到不能继续。例如 $$(a{b}^{-1})(b{a}^{-1}b)⟼a{a}^{-1}b⟼b.$$ 空词充当单位元；词的逆元是把符号次序倒转，再将每个符号换成其逆元。例如 $(a{b}^{-1}{)}^{-1}=b{a}^{-1}$。

约化得到唯一结果：逐个读取词中的符号，维护一个栈；若新符号是栈顶的逆元，就弹出栈顶，否则压入。每一步删除一对相邻逆元不会改变最终栈，因而不同的删除顺序得到同一约化词。这个唯一性使“连接后约化”成为确定的运算；连接三个词无论在哪个位置先约化，最终都等于原三词连接后的唯一约化结果，所以运算满足结合律。

自由性质

一般地，给定集合 $S$，以 $S$ 及其形式逆元的约化词为元素，得到自由群 $F(S)$。它的关键性质是：对任意群 $G$ 和任意映射 $f:S\to G$，存在唯一群同态 $\hat{f}:F(S)\to G$ 满足 $\hat{f}(s)=f(s)$。

构造方法是把约化词中每个 $s$ 替换成 $f(s)$、每个 $s^{-1}$ 替换成 $f(s{)}^{-1}$，再按词序在 $G$ 中相乘。被消去的相邻符号对应 $f(s)f(s{)}^{-1}=e_G$，因此选取代表词不会改变结果。任何延伸 $f$ 的同态都必须这样计算每个词，所以延伸唯一。

例如把 $a$ 送到整数 $2$、$b$ 送到 $3$，目标群取加法群 $(\mathbb{Z},+)$，则 $a{b}^{-1}a$ 的像为 $2-3+2=1$。不同的自由群元素可能有同一个像：$ab$ 和 $ba$ 在自由群中是不同约化词，但在交换群 $\mathbb{Z}$ 中都映成 $5$。

边界与联系

一个生成元的自由群同构于 $\mathbb{Z}$；空生成集的自由群只有单位元。至少有两个生成元时，自由群一般不交换：$ab$ 与 $ba$ 是不同的约化词。“自由”不表示元素都可交换，也不表示任意指定生成元都各不相同；它说明给定的基上没有多余关系。加入指定关系后，可以把自由群对这些关系生成的正规子群取商，得到群的呈示。