自相似集

自相似集（self-similar set）是在一组压缩相似映射下，由自身的有限个缩小副本组成的非空紧集。这里的“相似”要求所有距离按同一个比例缩放，允许旋转、平移和反射。有限步骤画出的图形是近似；自相似集本身满足一个精确的集合等式。

例如，把一个直角三角形缩小为原来的一半，分别放在三个顶点处；对留下的每个小三角形重复这一操作。每一步留下的面积都比上一步小，但三个顶点始终保留。这个构造把“局部像整体”变成了可以计算和证明的关系。

相似映射与不变集

在欧几里得空间 ${ℝ}^d$ 中，相似映射 $S$ 满足 $$\Vert S(x)-S(y)\Vert =r\Vert x-y\Vert (x,y\in {ℝ}^d),$$ 其中 $r>0$ 是相似比。当 $0<r<1$ 时，它是压缩相似映射，可写成 $$S(x)=rQx+b,Q^{𝖳}Q=I.$$ 正交矩阵 $Q$ 保持距离，向量 $b$ 负责平移，只有 $r$ 改变长度。面积因此乘以 $r^2$，$d$ 维体积乘以 $r^d$。

给定有限个这样的映射 $S_1,\dots ,S_m$，如果非空紧集 $K$ 满足 $$K=\bigcup _{i=1}^m{S}_i(K),$$ 就称它为这组相似映射的自相似集。右边每一块都由同一个 $K$ 缩小得到；这比“某些局部看起来相似”更强。有限个严格压缩映射在完备空间中具有唯一非空紧吸引子，存在性、唯一性及逼近误差见迭代函数系统。这里允许不同副本重叠，计算维数时再另加分离条件。

三角形的嵌套构造

取闭三角形 $$T=\{(x,y):x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 1\},$$ 顶点为 $A=(0,0)$、$B=(1,0)$、$C=(0,1)$。定义 $$S_1(x,y)=(\frac{x}{2},\frac{y}{2}),S_2(x,y)=(\frac{x+1}{2},\frac{y}{2}),S_3(x,y)=(\frac{x}{2},\frac{y+1}{2}).$$ 三个映射的相似比都是 $1/2$。例如，$S_2$ 把三个顶点依次送到 $(1/2,0)$、$(1,0)$、$(1/2,1/2)$，得到右下方的小三角形。

第一次操作留下三个闭三角形。它们的内部互不相交，相邻两块仅在一个顶点相接。

记 $F(E)=S_1(E)\cup S_2(E)\cup S_3(E)$，并令 $T_0=T$、$T_{n+1}=F(T_n)$。因为 $F(T)\subset T$，且集合包含关系经过映射和并集后仍保持，归纳可得 $$T_0\supset T_1\supset T_2\supset \cdots .$$ 每个 $T_n$ 都是有限个闭三角形的并，因而紧；顶点 $A$ 属于所有 $T_n$。所以 $$K=\bigcap _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_n$$ 是非空紧集。这个 $K$ 是直角三角形版本的谢尔宾斯基三角形。

还需证明交集确实由自己的三个副本组成。若 $x\in K$，则 $S_i(x)\in S_i(T_n)\subset T_{n+1}$ 对每个 $n$ 成立，因此 $S_i(K)\subset K$。反过来，若 $x\in K$，对每个 $n$ 都有 $x\in \bigcup _i{S}_i(T_n)$。只有三个索引，至少有一个 $i$ 在任意大的 $n$ 上出现。由于 $S_i(T_n)$ 随 $n$ 嵌套，这个 $x$ 便属于所有 $S_i(T_n)$。相似映射可逆，故 $S_i^{-1}(x)\in T_n$ 对所有 $n$ 成立，即 $x\in S_i(K)$。两方向合并得到 $K=F(K)$。

第 $n$ 步对应 $3^n$ 个长度为 $n$ 的映射序列；每个小三角形的直角边长为 $2^{-n}$。序列记录的是所在的副本，不一定唯一记录交界顶点。例如 $(1/2,0)=S_1(B)=S_2(A)$，同一点已经有两种第一步表示。

面积趋零的完整计算

初始面积为 $m_2(T)=1/2$，其中 $m_2$ 表示平面面积。每个相似比为 $1/2$ 的副本面积乘以 $1/4$。同一层的小三角形至多在顶点相交，这些交集面积为零，所以可以直接相加： $$m_2(T_n)=3^n\cdot \frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2n}=\frac{1}{2}{\left(\frac{3}{4}\right)}^n.$$ 前三步的面积依次为 $3/8$、$9/32$、$27/128$。面积递减并不表示图形会在有限一步变空；每个有限步骤仍包含有内部的小三角形。

第三步的副本数为27，每块面积为1/128，总面积为27/128。

由于 $K\subset T_n$，面积的单调性给出 $$0\le m_2(K)\le \frac{1}{2}{\left(\frac{3}{4}\right)}^n\text{对所有 }n\ge 0.$$ 右边趋于零，因此 $m_2(K)=0$。这里已经证明了极限集的面积为零，无需把有限图像的空白外推成结论。零面积也不等于有限个点；例如底边 $[A,B]$ 在每一层都被相接的二等分线段完整保留，因此整条底边属于 $K$。

相似维数与开放集条件

“三块、每块长度减半”提示一个尺度指数 $s$：若缩小 $r$ 倍的副本贡献 $r^s$，则应有 $$3{\left(\frac{1}{2}\right)}^s=1,s=\frac{\log 3}{\log 2}\approx \mathrm{1.58496.}$$ 一般地，压缩比 $0<r_i<1$ 对应的相似维数是方程 $\sum _{i=1}^m{r}_i^s=1$ 的解；当 $m\ge 2$ 时，左边从 $m$ 连续严格下降至零，故存在唯一正解。单个相似映射的解为 $s=0$，其紧吸引子是该映射的不动点。这个指数由映射族决定，不能只凭方程就断言它是集合的豪斯多夫维数。

一个足以保证两者相等的条件是开放集条件：存在非空开集 $O\subset {ℝ}^d$，使 $$\bigcup _{i=1}^m{S}_i(O)\subset O,S_i(O)\cap S_j(O)=\varnothing (i\ne j).$$ 要求分离的是开集的像，而非所有闭副本。上例可取 $O=\{x>0,y>0,x+y<1\}$。三个像分别位于 $x+y<1/2$、$x>1/2$、$y>1/2$ 的区域内，均在 $O$ 中，彼此不交。闭副本共享顶点与这一条件相容。

对欧几里得空间中有限个压缩相似映射及其非空紧吸引子，开放集条件保证 $${\dim }_{\mathrm{H}}K=s,0<{\mathscr{H}}^s(K)<\mathrm{\infty }.$$ 这是 Moran–Hutchinson 型维数定理的结论；它还需要小尺度测度估计，不能由前面的面积递推推出。本篇引用该定理，不在此证明。将已核实的开放集条件代入，才得到上述三角形的 Hausdorff 维数为 $\log 3/\log 2$。

重叠会破坏这个结论。取两个完全相同的映射 $S_1(x)=S_2(x)=x/2$。其非空紧吸引子是 $\{0\}$：若 $K=(1/2)K$，则紧性使直径有限，而 $\mathrm{diam}K=(1/2)\mathrm{diam}K$ 强迫直径为零；不动点方程再给出唯一的点为零。这个集合的 Hausdorff 维数为零，但按两个索引计算的相似维数满足 $2(1/2{)}^s=1$，等于一。两个开集像完全重合，因此开放集条件不成立。重复计入同一块增加了方程中的“块数”，却没有增加任何几何内容。开放集条件是这里的充分条件；条件不成立本身并不能断定维数一定下降。

改变压缩比及与其他构造的区别

保留同一组三个顶点，把映射改为 $R_i(x)=x/3+2v_i/3$，其中 $v_1=A,v_2=B,v_3=C$。这次每块直角边长为原来的三分之一。第 $n$ 层的面积为 $$3^n\cdot \frac{1}{2}{3}^{-2n}=\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{3}\right)}^n;$$ 第三层为 $1/54$，仍趋于零。原三角形内部仍可作为开放集：三个像被 $x+y<1/3$、$x>2/3$、$y>2/3$ 分开。相似维数方程变为 $3(1/3{)}^s=1$，故定理给出维数一。两个例子的面积都为零，Hausdorff 维数却不同，说明面积信息不足以决定维数。

一般迭代函数系统允许任意严格压缩映射，不要求各方向按同一个比例变化；自相似构造是其中一类。若采用 $S(x)=Ax+b$，而 $A$ 在不同方向上具有不同伸缩比，则属于自仿射构造。例如 $A=\mathrm{diag}(1/2,1/3)$ 把水平单位线段缩为二分之一、竖直单位线段缩为三分之一，不能用单个相似比描述。相似维数的上述方程及其定理不能直接移用。反过来，线段和正方形也能由较小的相似副本组成；自相似性本身不要求维数非整数。