豪斯多夫维数

豪斯多夫维数（Hausdorff dimension）以任意小集合覆盖一个对象，比较覆盖直径的不同次幂所需的总量。它允许同一次覆盖中使用不同大小的集合，因而能分辨比长度、面积更细的尺度结构。定义先构造带实数参数的豪斯多夫测度，再把测度从无穷大转为零的临界参数作为维数。

三分 Cantor 集提供了一个完整例子：第 $n$ 步有 $2^n$ 个长度 $3^{-n}$ 的小区间。这个计数提示维数为 $d=\log 2/\log 3\approx 0.630929754$，但计数本身只给一种覆盖。要证明没有更便宜的不规则覆盖，还需要一个控制所有小区间的下界。

小尺度覆盖与测度

设 $E\subset {ℝ}^m$，其中 $m\ge 1$ 是整数，距离取欧氏距离。对非空集合 $U$，其直径是 $\mathrm{diam}U=sup\{|x-y|:x,y\in U\}$。固定实数 $s>0$ 与尺度 $\delta >0$，定义 $${\mathscr{H}}_{\delta }^s(E)=inf\{\sum _i(\mathrm{diam}{U}_i{)}^s:E\subseteq \bigcup _i{U}_i,\mathrm{diam}{U}_i\le \delta \}.$$ 这里取遍有限或可数个非空集合组成的覆盖，集合不必等大，也不必互不相交。下确界要求比较所有合法覆盖，而非只计算图中展示的一组区间。

缩小 $\delta$ 会排除一部分覆盖，所以 ${\mathscr{H}}_{\delta }^s(E)$ 不会减小。因此下面的扩展实数极限存在： $${\mathscr{H}}^s(E)=\underset{\delta \downarrow 0}{lim}{\mathscr{H}}_{\delta }^s(E).$$ 它称为 $s$ 维豪斯多夫测度。本文采用直接求和 $(\mathrm{diam}{U}_i{)}^s$ 的约定，不乘额外归一化系数。Hutchinson 的论文在 §2.6 乘有只依赖 $s$ 的正归一化常数；这会改变测度的数值，但不会改变测度为零、为无穷或相应维数的结论。 直接直径求和的定义也见 Rossini 的讲义。

零维参数另作明确约定：当 $s=0$ 时，每个非空覆盖集合的成本为一，包括直径为零的单点。由此得到 ${\mathscr{H}}^0(E)$ 等于点的个数；无限集取无穷。至少含两个点的有限集，在尺度小于最小点距时每点需要一个覆盖集合；单点集也始终需要一个，而无限集包含任意多个不同点，因而极限计数无界。空集允许空覆盖，测度为零，本文约定 ${\dim }_H\varnothing =0$。

临界指数的含义

若 $0<s<t$，每个合法覆盖都满足 $$\sum _i(\mathrm{diam}{U}_i{)}^t\le {\delta }^{t-s}\sum _i(\mathrm{diam}{U}_i{)}^s,$$ 所以 ${\mathscr{H}}_{\delta }^t(E)\le {\delta }^{t-s}{\mathscr{H}}_{\delta }^s(E)$。若 ${\mathscr{H}}^s(E)<\mathrm{\infty }$，右边不超过 ${\delta }^{t-s}{\mathscr{H}}^s(E)$，令尺度趋零便得 ${\mathscr{H}}^t(E)=0$。反过来，若 ${\mathscr{H}}^t(E)>0$，则较小指数 $s$ 的测度必为无穷。

据此定义 $${\dim }_{H}E=inf\{s>0:{\mathscr{H}}^s(E)=0\}.$$ 小于这个临界值的正指数给无穷测度，大于它的指数给零测度；临界处的测度本身还需要单独判断。尤其，若能找到 $d>0$ 使 $0<{\mathscr{H}}^d(E)<\mathrm{\infty }$，就已经确定 ${\dim }_{H}E=d$。

Cantor 覆盖给出的上界

从 $C_0=[0,1]$ 开始，每次从每个保留区间中删除开中间三分之一，令 $C=\bigcap _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n$。第 $n$ 步的基本区间称为 $n$ 级区间，共 $2^n$ 个，每个长度 $3^{-n}$。它们覆盖最终的 $C$。

同一级的长度、数量和质量对应同一批基本区间。较深一级仍覆盖最终的 Cantor 集。

用这些区间作覆盖，指数 $s$ 下的总成本为 $$2^n(3^{-n}{)}^s=(2\cdot 3^{-s}{)}^n.$$ 例如第三级有八个长度 $1/27$ 的区间。按长度计费时，总量为 $8/27$；按 $d=\log 2/\log 3$ 次幂计费时，总量为 $8\cdot 27^{-d}=1$。

若 $s>d$，则 $2\cdot 3^{-s}<1$，上述成本随 $n$ 趋零。任意给定 $\delta >0$ 都允许选择任意深、且满足 $3^{-n}\le \delta$ 的一级，所以 ${\mathscr{H}}_{\delta }^s(C)=0$。在临界指数 $d$，每一级成本都为一，因此 ${\mathscr{H}}^d(C)\le 1$。

这里画的是指定覆盖的成本。它能提供上界；小指数下这条曲线增长，尚不能排除另一种覆盖更便宜。

质量分布引理给出的下界

在实数轴上，设紧集 $E$ 上有一个 Borel 概率测度 $\mu$，满足 $\mu (E)=1$。若存在 $s>0,M>0,{\delta }_0>0$，使每个长度 $0<r\le {\delta }_0$ 的闭区间 $I$ 都满足 $$\mu (I)\le M{r}^s,$$ 则 ${\mathscr{H}}^s(E)\ge 1/M$。这称为质量分布方法：小区间装不下过多质量，覆盖全部质量就必须支付足够的直径成本。它是 Frostman 型估计的一种直接形式。

证明。 长度趋零的区间界首先给出每个单点质量为零。取任意 $\delta \le {\delta }_0$ 的可数覆盖 $\{U_i\}$。每个非空 $U_i\subset ℝ$ 都包含于闭区间 $I_i=[inf{U}_i,sup{U}_i]$，其长度恰为 $\mathrm{diam}{U}_i$。概率测度的可数次可加性给出 $$1=\mu (E)\le \sum _i\mu (I_i)\le M\sum _i(\mathrm{diam}{U}_i{)}^s.$$ 直径为零的集合也适用，因为其质量为零。对全部覆盖取下确界，再令 $\delta \downarrow 0$，即得所需下界。

现在给每个 Cantor 区间分配质量：先给 $[0,1]$ 质量一，每次将一个区间的质量平均分给它的左右子区间。因此每个 $n$ 级区间质量为 $2^{-n}$。这一概率测度也可定义为随机级数 $$X=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2B_j}{3^j},$$ 其中 $B_j$ 是相互独立、各以二分之一概率取零或一的随机变量，$\mu$ 为 $X$ 的分布。前 $n$ 次左右选择决定一个 $n$ 级区间，故所述质量确为 $2^{-n}$，而全部质量集中在 $C$ 上。

给定长度 $0<r\le 1$ 的区间 $I$，选择整数 $n\ge 0$ 使 $$3^{-(n+1)}<r\le 3^{-n}.$$ 相邻 $n$ 级区间之间的间隙至少为 $3^{-n}$，所以长度至多 $3^{-n}$ 的区间最多遇到两个 $n$ 级区间。于是 $$\mu (I)\le 2\cdot 2^{-n}=2(3^{-n}{)}^d<2(3r{)}^d=4r^d,$$ 最后一步用了 $3^d=2$。若 $n=0$，只有一个零级区间，同一较宽的上界仍成立。

先按区间长度选一级，再用该级区间数量控制质量。图中的区间只遇到一个基本区间；证明统一采用“至多两个”的安全上界。

将质量分布引理用于 $s=d,M=4$，结合覆盖上界，得到 $$\frac{1}{4}\le {\mathscr{H}}^d(C)\le 1,{\dim }_{H}C=\frac{\log 2}{\log 3}.$$ 这个证明确定了维数及临界测度的正有限性；给出的两个界并没有确定该测度的精确数值。

改变缩放与可数性的边界

变式。 每次保留一个区间最左和最右的四分之一，得到四分 Cantor 集 $C^{(4)}$。第 $n$ 级仍有 $2^n$ 个区间，长度改为 $4^{-n}$；临界成本方程成为 $2\cdot 4^{-s}=1$，解为 $s=1/2$。相邻同级区间间隙至少为其长度的两倍，等分质量同样满足 $\mu (I)\le 4r^{1/2}$。覆盖上界与质量下界因而给出 ${\dim }_H{C}^{(4)}=1/2$。区间数翻倍相同，几何缩小比例改变后，维数也改变。

可数性给出另一种覆盖。若 $E=\{x_1,x_2,\dots \}$，对任意 $s>0,\delta >0,\eta >0$，在 $x_j$ 外取长度 $${\ell }_j=min\{\delta ,(\eta 2^{-j}{)}^{1/s}\}$$ 的区间，就有 $\sum _j{\ell }_j^s\le \eta \sum _j{2}^{-j}=\eta$。由于 $\eta$ 任意小，${\mathscr{H}}^s(E)=0$ 对全部 $s>0$ 成立，故非空可数集的豪斯多夫维数为零。不同区间可以缩到不同尺度，是这里起作用的关键；盒维数对同一尺度统一计数，因此紧可数集也可能具有正的盒维数。

线性尺度改变则不会改变维数。若 $a\ne 0$，映射 $x\mapsto ax+b$ 将每个覆盖直径乘 $|a|$，正反两次应用覆盖定义可得 ${\mathscr{H}}^s(aE+b)=|a{|}^s{\mathscr{H}}^s(E)$，从而维数相同。这里保留的是距离的比例；一般拓扑同胚只保证连续可逆，未必保留这种度量维数。