西罗定理

西罗定理描述有限群中素数幂阶子群的存在、共轭和数量。它把群的阶的算术分解与子群结构联系起来，常用来判断一个有限群是否含有正规子群。

三个结论

设 $|G|=p^{a}m$，其中 $p$ 为素数，$a\ge 1$ 且 $p\nmid m$。西罗 $p$-子群是阶为 $p^a$ 的子群；记其数量为 $n_p$。西罗定理说明：

1. 至少存在一个西罗 $p$-子群。
2. 任何 $p$-子群都包含于某个西罗 $p$-子群；特别地，所有西罗 $p$-子群互相共轭。
3. $n_p\mid m$ 且 $n_p\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。

证明中使用群作用的轨道稳定子定理，以及有限 $p$-群作用时非单点轨道的大小均被 $p$ 整除。

存在性的计数

令 $X$ 为 $G$ 中所有含 $p^a$ 个元素的子集；群通过左乘作用于 $X$。在模 $p$ 的多项式环中，由二项式系数的整除性，$(1+t{)}^{p^a}\equiv 1+t^{p^a}$。因此 $$(1+t{)}^{p^{a}m}\equiv (1+t^{p^a}{)}^m(\mathrm{mod}p).$$ 比较 $t^{p^a}$ 的系数，得到 $|X|=(\genfrac{}{}{0ex}{}{p^{a}m}{p^a})\equiv m\equiv ̸0(\mathrm{mod}p)$。

将 $X$ 分成 $G$-轨道。总数不被 $p$ 整除，所以至少一个轨道大小不被 $p$ 整除。取这个轨道的一个子集 $A$，令其稳定子为 $H$。轨道稳定子定理给出 $|G|=|G\cdot A||H|$，因此 $p^a$ 整除 $|H|$。另一方面，$H$ 保持集合 $A$，其左乘在 $G$ 上没有非平凡固定元素，所以 $A$ 是若干个大小为 $|H|$ 的轨道的并，$|H|$ 整除 $|A|=p^a$。两边合起来迫使 $|H|=p^a$。

共轭与数量

固定一个西罗子群 $P$，令任意 $p$-子群 $Q$ 左乘作用于陪集集合 $G/P$。陪集数 $|G:P|=m$ 不被 $p$ 整除，因此该作用至少有一个固定陪集 $gP$。固定意味着每个 $q\in Q$ 都满足 $qgP=gP$，即 $Q\subseteq gP{g}^{-1}$。若 $Q$ 本身也是西罗子群，则两边阶相等，所以 $Q=gP{g}^{-1}$；这证明包含性与共轭性。

共轭作用在所有西罗子群上是传递的，故 $n_p=[G:N_G(P)]$，其中 $N_G(P)$ 是正规化子。因 $P\subseteq N_G(P)$，$n_p$ 整除 $m$。再让 $P$ 共轭作用于全体西罗子群。若某个西罗子群 $Q$ 被 $P$ 固定，则 $P$ 正规化 $Q$，乘积 $PQ$ 是 $p$-子群；它包含阶为 $p^a$ 的 $P$，因此阶只能是 $p^a$，从而 $Q=P$。所以恰有一个固定点，其他轨道大小均为 $p$ 的倍数，得到 $n_p\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。

阶为十五的群

若 $|G|=15=3\cdot 5$，对 $p=5$ 有 $n_5\mid 3$ 且 $n_5\equiv 1(\mathrm{mod}5)$，唯一可能是 $n_5=1$。对 $p=3$ 有 $n_3\mid 5$ 且 $n_3\equiv 1(\mathrm{mod}3)$，也只有 $n_3=1$。所以两个西罗子群都是正规子群。它们交集只有单位元，且对各自元素 $x,y$，换位子同时落在两个正规子群中，因此为单位元；两子群逐元素交换。其乘积有 $3\cdot 5=15$ 个元素，故整个群同构于 $C_3\times C_5\cong C_{15}$。

数量约束通常只缩小可能值，不总能单独确定 $n_p$。唯一性推出正规性时，使用了所有西罗子群互相共轭这一结论。