轨道稳定子定理

轨道稳定子定理把群作用中一个对象能够变成多少种结果，与保持这个对象不变的变换有多少个联系起来。对于有限群，二者的数量乘起来恰好是群的阶。

轨道与稳定子

设群 $G$ 从左作用于集合 $X$，即对 $g,h\in G$、$x\in X$，有 $e\cdot x=x$ 和 $(gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x)$。点 $x$ 的轨道及稳定子分别是 $$Gx=\{g\cdot x:g\in G\},G_x=\{g\in G:g\cdot x=x\}.$$ $G_x$ 是子群：单位元固定 $x$；若 $g,h$ 都固定 $x$，则 $g{h}^{-1}$ 也固定它。定理断言，左陪集集合 $G/G_x$ 与轨道 $Gx$ 之间有自然双射；若 $G$ 有限，则 $$|Gx|=[G:G_x]=\frac{|G|}{|G_x|}.$$ 这里 $[G:G_x]$ 是稳定子的左陪集个数；即使 $G_x$ 不是正规子群，陪集集合也存在，但不一定是商群。

双射的证明

定义 $\varphi (g{G}_x)=g\cdot x$。若 $g{G}_x=h{G}_x$，则 $h^{-1}g\in G_x$，所以 $h^{-1}g\cdot x=x$，进而 $g\cdot x=h\cdot x$；因此映射与陪集代表的选择无关。反过来，若 $g\cdot x=h\cdot x$，同样得到 $h^{-1}g\in G_x$，于是两个陪集相同，故 $\varphi$ 单射。轨道中的点按定义都可写成 $g\cdot x$，故它也是满射。

当 $G$ 有限，所有左陪集的大小均为 $|G_x|$，并且它们划分 $G$，所以 $|G|=[G:G_x]|G_x|$。把刚得到的陪集数等于轨道数代入，就得到乘法公式。

三个位置的旋转

取等边三角形的旋转群 $C_3=\{e,r,r^2\}$，令它作用在三处顶点的标记位置上。只标记一个顶点，转动后它可到达三个位置，因此 $|Gx|=3$。只有不转动保持原标记位置，故 $G_x=\{e\}$，定理给出 $3=3\cdot 1$。

一个标记顶点在三次旋转下的位置：标记有三个可能位置，只有单位旋转固定它。

如果三个顶点均作完全相同的标记，所有旋转都保持图案不变，轨道只有一个元素而稳定子有三个。这说明不能仅凭群的大小认定每个对象有多少种不同结果，必须计算对象自身的稳定子。若群无限，陪集与轨道的双射仍成立，但有限数相除的写法不应直接套用。