单射与满射

一个函数把输入送到输出。若两个不同输入得到同一个结果，观察结果就不能反推是哪一个输入；若有些允许的输出永远到不了，函数就没有覆盖整个目标集合。单射与满射分别把这两件事说清楚，而双射要求两者同时成立。判断之前必须写明函数的定义域和陪域；只给公式 $f(x)=x^2$ 还不够。

两种“没有遗漏”不是一回事

设 $f:A\to B$。单射（一对一）要求 $$f(x_1)=f(x_2)⟹x_1=x_2(x_1,x_2\in A).$$ 即不同输入不会撞到同一输出。与它等价的逆否表述是 $x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$。若要证明一个函数不单射，只需找两个不同输入有相同输出。

满射（映上）要求对每个 $b\in B$，至少存在一个 $a\in A$ 使 $f(a)=b$。换言之，实际像集 $f(A)=\{f(a):a\in A\}$ 恰等于陪域 $B$。单射看的是每个输出至多有几个原像，满射看的是每个陪域元素至少有几个原像；两者一起才让每个输出恰有一个原像。

三个输入覆盖两个输出，但其中一个输出由两个输入共享；图示满射而非单射。

图中 $A=\{1,2,3\}$、$B=\{a,b\}$，规定 $f(1)=a,f(2)=a,f(3)=b$。$a,b$ 都被达到，所以满射；$1\ne 2$ 却有 $f(1)=f(2)$，所以不单射。反过来，若只把两个输入 $1,2$ 分别送到三个输出 $a,b,c$ 中的 $a,b$，它单射，但由于 $c$ 没有原像而不满射。

同一个公式，换范围就换性质

平方函数给出很好的对照。需要把每一行的定义域与陪域一起读：

函数	单射？	满射？	核对
$f:ℝ\to ℝ,f(x)=x^2$	否	否	$f(1)=f(-1)$；负数到不了
$f:ℝ\to [0,\mathrm{\infty }),f(x)=x^2$	否	是	每个非负数有平方根，但正数有正负两个原像
$f:[0,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty }),f(x)=x^2$	是	是	非负区间上 $x^2$ 严格递增，每个非负数恰有一个原像

第一行改成第二行，公式和实际取到的值都没有变，只把陪域缩到像集，满射性就改变了。第二行改成第三行，则把定义域限制到非负部分，碰撞 $x,-x$ 消失。此时函数成为双射，其逆函数是 $f^{-1}(y)=\sqrt{y}$；若仍允许负输入，不能把“$\pm \sqrt{y}$”当作通常意义下的单值逆函数。

有限集合的计数限制

若有限集合 $A$ 有 $m$ 个元素、$B$ 有 $n$ 个元素，单射 $A\to B$ 必须满足 $m\le n$。证明只需数像：单射让 $m$ 个输入有 $m$ 个互不相同的输出，而 $B$ 只有 $n$ 个位置。满射则必须满足 $m\ge n$，因为要覆盖 $n$ 个目标，至少需要 $n$ 个输入。这是抽屉原理的一种函数表达。

特别当 $m=n<\mathrm{\infty }$ 时，单射必满射，满射也必单射；从 $m$ 个位置中选出 $m$ 个不同位置，就已经占满了所有位置。有限二字不能漏：自然数上的 $f(n)=n+1$ 对自然数集单射，却不是满射，因为起始的那个自然数没有原像。

可逆性与模型辨识

函数 $f:A\to B$ 有一个定义在整个 $B$ 上的双侧逆 $g:B\to A$，满足 $g(f(a))=a$ 和 $f(g(b))=b$，当且仅当 $f$ 是双射。若有双侧逆，$f(a_1)=f(a_2)$ 时左右作用 $g$ 得 $a_1=a_2$，故单射；对每个 $b\in B$ 又有 $b=f(g(b))$，故满射。反过来，双射确保每个 $b$ 恰有一个原像，把它定义为 $g(b)$ 即得逆函数。

在逆问题与可辨识性里，前向模型 $F:\Theta \to 𝒴$ 的单射性决定理想观测能否唯一确定参数。这里通常更关心对实际可能观测集合是否单射，而不是强求所有数学上写出的 $y\in 𝒴$ 都能由模型产生。若有测量噪声，即使映射单射，还需用条件数检查反演稳定性。

参考资料与相关词条

• MIT 6.042J《Mathematics for Computer Science》，§13.1，单射、满射、双射与有限集合计数。
• OpenStax《Precalculus 2e》§1.7，限制定义域与逆函数。
• 先修：集合、函数、函数的定义域与值域；相关：双射、反函数、抽屉原理。