阿基米德性质

阿基米德性质说：给定任意实数 $x$，总有自然数 $n>x$。它把“可以继续加一”变成一个关于实数整体的断言。比如想让 $1/n<0.001$，取 $n>1000$ 即可；这类取法是极限证明中的基础动作。

从上确界推出性质

反设自然数集合 $\mathbb{N}$ 在实数中有上界。由上确界原理，它便有最小上界 $s$。因为 $s-1$ 不是上界，可找到自然数 $n>s-1$；但 $n+1$ 仍是自然数，且 $n+1>s$，与 $s$ 是上界矛盾。故自然数没有实数上界。

对 $\epsilon >0$，将性质用于 $1/\epsilon$，得到 $n>1/\epsilon$，也就是 $0<1/n<\epsilon$。这直接证明 $1/n\to 0$。再将性质用于 $x$ 和 $-x$，便能找到整数落在实数 $x$ 的两侧。

使用范围

“任意大”不等于存在一个最大的自然数，也不意味着某个有限 $n$ 大于所有实数。性质的量词顺序是先给定 $x$，再选 $n$。有些扩大的有序数系允许“无限大”元素，便不满足这个性质；这里的结论依赖实数的完备性。

参考资料

• MIT 18.100B Real Analysis，实数与序结构讲义。
• MIT 18.100A Fall 2020，实分析讲义。
• 继续阅读：上确界原理、有理数的稠密性、数列的极限。