随机占优

随机占优是一种比较不确定收益分布的方法。一阶占优要求一个方案在每个收益门槛上的超过概率都不低于另一个方案；二阶占优还允许用较高的平均收益或较小的波动来补偿部分低门槛上的劣势。本条以收益越大越好为约定，重点讨论二阶占优与风险厌恶。

一个保底方案和一个随机方案

方案 $A$ 确定获得 2 个单位收益；方案 $B$ 以各 $1/2$ 的概率获得 0 或 4。两者的期望都是 2，但 $B$ 的结果分散。若决策者的效用为 $u(x)=\sqrt{x}$，则 $$E[u(A)]=\sqrt{2},E[u(B)]=\frac{\sqrt{0}+\sqrt{4}}{2}=1.$$ 这里效用函数在非负收益上递增且凹，表示同等幅度的收益增加在高收益处带来的效用增量较小。比较结果不只对平方根成立：对定义在非负实数上的任意凹函数 $u$，凸性定义给出 $$u(2)=u\left(\frac{0+4}{2}\right)\ge \frac{u(0)+u(4)}{2}=E[u(B)].$$ 因此所有收益递增且风险厌恶的效用函数都弱偏好 $A$。这并非一阶占优：门槛为 0 时 $P(A>0)=1>1/2=P(B>0)$；门槛为 2 时 $P(A>2)=0<1/2=P(B>2)$。两者的尾概率发生交叉。

二阶占优的判据

设收益 $X,Y$ 均可积，分布函数分别为 $F_X,F_Y$。将门槛 $t$ 下的期望缺口记为 $$\begin{array}{cc}{L}_X(t)& =E[(t-X{)}_{+}]\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^t{F}_X(s)\mathrm{d}s,z_{+}=max(z,0).\end{array}$$ 等式由 $(t-X{)}_{+}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^t{\mathrm{𝟏}}_{\{X\le s\}}\mathrm{d}s$ 和非负函数的积分换序得到。若对每个实数 $t$ 都有 $$L_Y(t)\le L_X(t),$$ 就说 $Y$ 二阶随机占优于 $X$。也有文献将收益和成本按相反方向记号排列；使用时应先写明不等式。可积性保证这些期望缺口有限。

对开头的方案，逐段计算得到 $$L_A(t)=(t-2{)}_{+},L_B(t)=\frac{1}{2}(t{)}_{+}+\frac{1}{2}(t-4{)}_{+}.$$ 所以它们的差为 $$L_B(t)-L_A(t)=\{\begin{array}{cc}0,& t\le 0,\\ t/2,& 0<t\le 2,\\ 2-t/2,& 2<t\le 4,\\ 0,& t>4.\end{array}$$ 这个差在所有 $t$ 上非负，在 $0<t<4$ 时为正。于是 $A$ 二阶占优于 $B$。例如门槛为 3 时，确定方案缺口为 1，随机方案的期望缺口为 $(3+0)/2=3/2$。

图中纵轴为随机方案 B 的期望缺口减确定方案 A 的期望缺口。非负差值表明 A 在各门槛的期望缺口都不大于 B。

与风险厌恶效用的关系

对于可积收益，二阶占优等价于：对每个使期望有定义且有限的递增凹效用函数 $u$，都有 $E[u(Y)]\ge E[u(X)]$。递增表示更高收益不差；凹性表示风险厌恶。

必要性容易看出：对任意门槛 $t$，选递增凹函数 $u_t(x)=-(t-x{)}_{+}$。如果每个此类函数都偏好 $Y$，便得到 $-L_Y(t)\ge -L_X(t)$。

充分性的关键是把递增凹函数分解成线性收益和一组门槛缺口。先考虑二次可微且二阶导数具有紧支集的递增凹函数。令 $c=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}^{\prime }(x)\ge 0$，$\rho (t)=-u^{″}(t)\ge 0$。积分两次可写为 $$u(x)=u(0)+cx-{\int }_{ℝ}[(t-x{)}_{+}-t_{+}]\rho (t)\mathrm{d}t.$$ 记 $D(t)=L_X(t)-L_Y(t)$。对 $X,Y$ 分别取期望并相减，得到 $$\begin{array}{cc}E[u(Y)]-E[u(X)]=& c(E[Y]-E[X])\\ & +{\int }_{ℝ}D(t)\rho (t)\mathrm{d}t.\end{array}$$ 缺口判据使积分非负。由于 $t-L_X(t)=E[min(X,t)]\to E[X]$，当 $t\to \mathrm{\infty }$ 时也得到 $E[Y]\ge E[X]$；因此右侧非负。更一般的递增凹函数可用适当近似处理，使用时仍需核对期望是否存在。

适用范围

如果 $Y$ 一阶占优于 $X$，则 $F_Y\le F_X$，积分后必有二阶占优；反过来不成立，开头两个方案就是例子。相同均值下，二阶占优常用于比较风险，但均值和方差两个数不能完整决定分布，不能仅凭它们断定占优。收益分布可能根本无法排序；当指标是成本或损失时，还需要先反转比较方向。

参见

• 随机序