随机序

随机序是一类比较概率分布的方法。普通的不等式比较两个数的大小；随机序则规定一组检验函数，用这些函数的期望比较两个分布。不同检验函数关注的性质不同，所以“较大”和“波动较大”要用不同的序来表达。

随机变量的通常序

对实值随机变量 $X,Y$，如果所有有界非减可测函数 $h$ 都满足 $$E[h(X)]\le E[h(Y)],$$ 称 $X$ 在通常随机序下不大于 $Y$，记 $X{\le }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}Y$。它等价于所有实数 $t$ 都满足 $P(X>t)\le P(Y>t)$，也等价于 $F_X(t)\ge F_Y(t)$。经济学中常把这一关系称为一阶随机占优。

若 $X$ 的取值为一或三，各占一半；令 $Y=X+1$。对任意非减函数 $h$，逐点有 $h(X)\le h(Y)$，故 $X{\le }_{\mathrm{s}\mathrm{t}}Y$。这一比较还可以由边缘分布决定：不必要求原来的 $X,Y$ 恰好按此方式共同产生。

凸序：比较分散程度

对可积随机变量 $X,Y$，如果对每个使下列期望存在的凸函数 $\phi$ 都有 $$E[\phi (X)]\le E[\phi (Y)],$$ 称 $X$ 不超过 $Y$ 的凸序，记作 $X{\le }_{\mathrm{c}\mathrm{x}}Y$。取仿射凸函数 $\phi (x)=x$ 和 $\phi (x)=-x$，立即得到 $E[X]=E[Y]$。因此凸序与通常随机序比较的不是同一方面。

设 $X=1$ 恒定，$Y$ 以各 $1/2$ 的概率取零或二。二者均值都是一；对于任意凸函数，由凸性， $$E[\phi (X)]=\phi (1)\le \frac{\phi (0)+\phi (2)}{2}=E[\phi (Y)].$$ 因此 $X{\le }_{\mathrm{c}\mathrm{x}}Y$。例如平方函数给出 $E[X^2]=1$、$E[Y^2]=2$，在相同均值下，后者的方差更大。一般地，当二阶矩有限时，凸序蕴含方差不等式；方差不等式本身不足以推出凸序。

这两个分布却不能按通常随机序比较：在 $t=0$ 处 $P(X>0)=1>1/2=P(Y>0)$，而在 $t=1$ 处 $P(X>1)=0<1/2=P(Y>1)$。尾概率的大小随阈值改变，不能统一排序。

使用时的限定

随机序比较的是分布，而不是说在每一种原有联合安排中都有 $X\le Y$。如果有共同空间上的逐点不等式，则能推出通常随机序；反过来需要另行构造合适的耦合。实际问题还要说明越大是否代表越好、哪些期望存在，以及采用的是哪一种序。