高阶导数

对可导函数再求导，就得到二阶导数 $f^{″}$；若继续可导，得到三阶导数等，统称高阶导数，$f^{(n)}$ 表示第 $n$ 阶导数。每多求一次导，都在追踪上一层变化率怎样变化。

从位置、速度到加速度

若物体沿直线的位置为 $s(t)=t^3-3t^2+2t$ 米，时间单位为秒，速度为 $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+2$ 米每秒；加速度是 $a(t)=v^{\prime }(t)=s^{″}(t)=6t-6$ 米每二次方秒。$t=1$ 时加速度为零，只表示那一瞬间速度的导数为零，并不表示速度为零：实际 $v(1)=-1$ 米每秒。

对多项式 $f(x)=x^4$，逐次求导是 $f^{\prime }=4x^3$、$f^{″}=12x^2$、$f^{‴}=24x$、$f^{(4)}=24$、$f^{(5)}=0$。这说明高阶导数并非神秘的新运算，只是反复应用导数运算法则。

二阶导数怎样进入近似

在 $a$ 附近，若函数有足够光滑性，泰勒定理给出 $$f(a+h)=f(a)+f^{\prime }(a)h+\frac{1}{2}{f}^{″}(a)h^2+o(h^2).$$ 这里 $o(h^2)$ 表示余项除以 $h^2$ 后趋零。一阶项描述切线，二阶项描述偏离切线的主要弯曲。以 $f(x)=x^2$、$a=1$ 为例，右侧是 $1+2h+h^2$，恰好等于 $(1+h{)}^2$，没有余项。

仅有 $f^{″}(a)=0$ 不能推出附近是直线，也不能推出拐点：$x^4$ 在0处二阶导数为零，曲线在两侧仍向上弯。谈曲线整体形状还要比较一段区间内二阶导数的符号。

参考资料

• OpenStax《Calculus Volume 1》§3.3：逐次求导的规则。
• 同书 §4.5：二阶导数与曲线形状。