鲁棒控制

鲁棒控制研究在模型参数不精确、存在外部扰动等情形下，怎样使同一个控制器在事先规定的一组系统中仍满足稳定或性能要求。它首先要写明不确定性的范围，再讨论保证，而不是只在若干仿真曲线上观察到效果不错。

如果某个控制器对估计参数有效，却在稍大的真实参数下失稳，那么名义模型的计算正确仍不足以保证实际运行。本条从一个标量不确定系统出发，推导鲁棒稳定条件、持续扰动界和能量增益，展示这些保证分别意味着什么。

参数集合与固定反馈

考虑 $$\dot{x}=ax+u+d(t),a\in [1,3].$$ 系数 $a$ 未知但为常数，状态可以测量，$d$ 是外部扰动。选择固定状态反馈 $$u=-kx.$$ 这里不在线估计 $a$；一旦选定 $k$，整个参数区间都使用同一个控制律。闭环为 $$\dot{x}=-(k-a)x+d.$$ 不确定区间是需要由建模或辨识支撑的假设，不表示参数服从均匀分布。区间外系统也不在以下保证之内。最坏情况分析与随机性能分析的不同目标，可参见Tedrake的鲁棒与随机控制课程。

鲁棒稳定条件与完整证明

先令扰动为零。固定 $a$ 时， $$x(t)=x(0)e^{-(k-a)t}.$$ 因此渐近稳定当且仅当 $k-a>0$。要对整个区间都成立，充要条件是 $$k>3.$$ 充分性： 令 $\lambda =k-3>0$，则所有允许的参数都满足 $k-a\ge \lambda$，所以 $$|x(t)|\le |x(0)|e^{-\lambda t}.$$ 这是参数无关的一致指数衰减界。

必要性： 若 $k=3$，允许参数 $a=3$ 使 $\dot{x}=0$，非零状态不会衰减；若 $k<3$，同一参数使状态指数增长。因此区间端点不能略去。

例如，$k=2$ 对名义参数一有效，对参数二仅保持常值，对参数三却产生指数增长。取 $k=5$ 时，最慢衰减率为二，整个区间都稳定。

上下两幅都取初始状态一、扰动零。只看名义参数对应的一条曲线，会遗漏区间端点失稳。

同一结论也可用共同李雅普诺夫函数 $V=x^2/2$ 表示： $$\dot{V}=-(k-a)x^2\le -2\lambda V.$$ 同一个 $V$ 对全部参数成立。这个标量例子的保证甚至允许 $a(t)$ 是始终落在区间内的有界可测函数，因为上述微分不等式逐时成立；一般多维系统不能仅凭每个固定参数系统都稳定，就推出任意参数切换下稳定。

有界持续扰动的状态界

现在允许 $|d(t)|\le D$，并仍取 $k>3$。常参数情况下由变参数公式， $$x(t)=e^{-(k-a)t}x(0)+{\int }_0^t{e}^{-(k-a)(t-s)}d(s)ds.$$ 利用 $k-a\ge \lambda$ 和三角不等式， $$|x(t)|\le e^{-\lambda t}|x(0)|+\frac{D}{\lambda }(1-e^{-\lambda t}).$$ 于是 $$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}|x(t)|\le \frac{D}{\lambda }.$$ 扰动持续存在时，保证的是趋近一个误差范围，不是一定趋于零。

取 $k=5$、$D=0.2$，则 $\lambda =2$，最终界为 $0.1$。若再取最不利参数 $a=3$、恒定扰动 $d=0.2$ 和初值零，精确解为 $$x(t)=0.1(1-e^{-2t}),$$ 恰好达到上述包络。若 $a=1$，同样输入下为 $0.05(1-e^{-4t})$，最终偏差只有一半。

该图初值为零，扰动是恒定有界输入。它用来检查幅值界，不用于证明无限时间上的有限能量增益。

性能要求反推增益

若要求所有允许参数下最终状态幅值不超过 $0.05$，上述界给出充分条件 $$\frac{0.2}{k-3}\le 0.05,k\ge 7.$$ 在这个标量模型中，恒定最坏扰动可以达到边界，所以这一要求对全部幅值受限扰动而言也是必要的。但增大增益会增加瞬时控制幅值，并放大状态测量噪声进入控制的作用；输入饱和后，原来假设的线性控制律不再准确成立。

有限能量扰动与H无穷增益

另一种性能指标限制输入的总能量。令初值为零，设扰动平方可积，记 $$\Vert d{\Vert }_2^2={\int }_0^{\mathrm{\infty }}|d(t){|}^{2}dt.$$ 对有限 $T$，由 $V=x^2/2$ 得 $$\begin{array}{cc}& \frac{1}{2}x(T{)}^2+\lambda {\int }_0^T{x}^{2}dt\\ & \le {\int }_0^{T}xddt\\ & \le {\left({\int }_0^T{x}^{2}dt\right)}^{1/2}{\left({\int }_0^T{d}^{2}dt\right)}^{1/2}.\end{array}$$ 若状态能量为零结论显然；否则去掉非负末项并除以状态范数，再令 $T\to \mathrm{\infty }$，得到 $$\Vert x{\Vert }_2\le \frac{1}{\lambda }\Vert d{\Vert }_2.$$ 对固定参数，传递函数为 $$G_a(s)=\frac{1}{s+k-a},$$ 其频率幅值 $$|G_a(i\omega )|=\frac{1}{\sqrt{(k-a{)}^2+{\omega }^2}}$$ 在零频取得上确界 $1/(k-a)$。稳定线性系统的这一频率上确界等于由零初值定义的诱导 $L^2$ 增益；对本例也可用越来越长的低频输入逼近该界。全参数区间上的最坏增益是 $1/(k-3)$。

零频幅值确定最坏频率界。恒定非零信号在无限时间上不属于L2，因而不能直接把它当作有限能量输入达到范数的证据。

幅值界针对每一时刻输入大小，能量界针对积分平方；二者不能互换。例如一个很窄的高尖峰可以总能量较小而峰值很大，恒定小扰动则幅值有限但无限时间能量无穷。

保证的边界与相关方法

本例把全部不确定性写成区间内的一个系数。若真实系统还存在时延、遗漏高频动态或输入方向错误，简单增加 $k$ 可能损害稳定性。鲁棒设计需把有实际影响的误差纳入模型，并检查控制器、执行器和传感器的限制。

自适应控制会根据数据更新参数，鲁棒控制可以使用固定控制器直接覆盖一个不确定集合；两类方法也可以结合。小增益定理通过互联系统的增益界分析反馈稳定，耗散性用储能与供给率表达性能。它们把这里的指数界、积分不等式推广到更一般系统，但仍需要明确所用信号空间和模型假设。