连续映射

连续映射（continuous map）把输入的局部接近关系传到输出。在有距离的空间中，它表示：把输入限制在足够小的邻域，输出就能满足预先给定的接近要求。在一般拓扑空间中，这个条件用开集的逆像来表达。

从平方函数的一次误差要求开始

设 $f (x) = x^{2}$ ，我们要在 $x = 2$ 附近计算它，已知 $f (2) = 4$ 。如果希望输出离四不到 $0.1$ ，输入应该离二多近？

先分解输出误差： $| x^{2} - 4 | = | x - 2 | | x + 2 | .$ 第一因子正是输入误差，第二因子也随输入变化。先把输入限制在 $| x - 2 | < 1$ ，这样 $1 < x < 3$ ，从而 $| x + 2 | < 5$ 。于是 $| x^{2} - 4 | \leq 5 | x - 2 | .$ 只要再要求 $| x - 2 | < 0.02$ ，输出误差就小于 $5 \times 0.02 = 0.1$ 。这个范围不一定是最大的可用范围，但它明确保证了要求。

把 $0.1$ 换成任意正数 $ε$ ，可取 $δ = min (1, ε / 5)$ 。这里 $ε$ 是先给出的输出容许误差， $δ$ 是据此选择的输入容许误差。对每一个输出要求，都能找到一个正的输入范围，就是在二处连续的含义。

在任意点连续的定义

对于度量空间之间的映射 $f : X \to Y$ ，在点 $a$ 连续，是指对每个 $ε > 0$ ，存在 $δ > 0$ ，使 $d_{X} (x, a) < δ ⟹ d_{Y} (f (x), f (a)) < ε .$ $d_{X}, d_{Y}$ 分别是输入、输出空间的距离。若每个 $a \in X$ 都满足这个要求，就称映射连续。选出的 $δ$ 可以依赖位置 $a$ 。

平方函数在任意实数点 $a$ 的证明沿用上一节的方法。先要求 $| x - a | < 1$ ，由三角不等式得到 $| x + a | = | (x - a) + 2 a | \leq | x - a | + 2 | a | < 1 + 2 | a | .$ 再取 $δ = min (1, \frac{ε}{1 + 2 | a |}),$ 当 $| x - a | < δ$ 时，便有 $| x^{2} - a^{2} | = | x - a | | x + a | \leq (1 + 2 | a |) | x - a | < (1 + 2 | a |) δ \leq ε .$ 这解释了平方函数为什么处处连续，也解释了离原点较远时，同样输出精度通常需要更小输入误差。

连续与是否有光滑斜率是不同问题。例如 $f (x) = | x |$ 满足 $| | x | - | a | | \leq | x - a |$ ，取 $δ = ε$ 就证明连续；它在零处却有尖点，左右导数不同。相反，阶跃函数在零处取零、正数处取一时，任何包含零的输入邻域都有输出一，无法满足输出误差小于 $1 / 2$ 的要求，因此在零处不连续。

将输出范围拉回输入端

还以平方函数为例。若输出必须落在开区间 $(1, 4)$ 内，哪些输入符合要求？解不等式 $1 < x^{2} < 4$ ，得到 $f^{- 1} ((1, 4)) = (- 2, - 1) \cup (1, 2) .$ 这个集合叫开区间的逆像。记号 $f^{- 1}$ 在这里只是收集符合输出条件的输入；平方函数并没有全实数上的逆函数，逆像照样定义。

逆像是开集，意味着其中每个输入点周围都有一小段仍满足输出要求的范围。这正是前面的局部连续性。对一般拓扑空间，便定义： $f : X \to Y$ 连续，当且仅当 $Y$ 中每个开集 $V$ 的逆像 $f^{- 1} (V)$ 都在 $X$ 中开。

这个定义与局部条件相互推出：

如果逆像开，那么对 $f (a)$ 的开邻域 $V$ ，直接用 $U = f^{- 1} (V)$ 作为 $a$ 的邻域，便有 $f (U) \subseteq V$ 。
如果每个点都能找到这样的输入开邻域 $U_{a}$ ，那么 $f^{- 1} (V)$ 就是所有这些 $U_{a}$ 的并，因此开。

在度量空间中，邻域中总能再取一个开球；把两边邻域换成半径为 $δ, ε$ 的开球，就回到误差定义。Sharifi：Continuous functions

用三个点把定义算一遍

取 $X = {a, b, c}$ ，开集为 $\emptyset, {a}, {a, b}, X$ 。输出空间取 $Y = {0, 1}$ ，开集为 $\emptyset, {1}, Y$ 。这些拓扑的含义见拓扑空间。

定义 $f (a) = 1, f (b) = f (c) = 0$ 。要检查连续，只需列出三个输出开集的逆像：空集的逆像为空， ${1}$ 的逆像为 ${a}$ ，全集的逆像为 $X$ 。三者都开，所以连续。

若改成 $g (b) = 1, g (a) = g (c) = 0$ ，那么 $g^{- 1} ({1}) = {b}$ ，它不开。局部地看，也能找到失败的位置：在输入点 $b$ ，希望输出留在开邻域 ${1}$ 内；但每个含 $b$ 的输入开邻域都包含 $a$ ，其输出为零，无法满足要求。

左映射把a送到一，输出开集一的逆像是开集a；右映射把b送到一，其逆像b不是开集 — 同一个输出开集，沿箭头反向寻找全部输入，得到不同的连续性结论。

先看两图输出端青色圈出的 V={1}，再沿箭头倒着找它来自哪里：左图得到金圈里的 a，右图得到金圈里的 b。是否开由本文给定的拓扑列表决定，图上两点画得远近并不表示距离。

常值映射则在任意拓扑下都连续。输出开集若包含常值，逆像就是整个输入空间；若不包含，逆像为空。这两个集合总开。

逆像的方向为什么重要

连续性没有要求开集的正向像开。平方函数把输入开区间 $(- 1, 1)$ 送到 $[0, 1)$ ，后者在实数中不开。函数把正负输入合并到同一个平方值，像的端点可以由此产生；逆像检查的是输入能否稳定地满足输出限制，是另一个方向的问题。

逆像与复合相容，也是这一定义的一个好处。若 $f : X \to Y$ 与 $g : Y \to Z$ 都连续，对 $Z$ 的开集 $W$ 有 $(g \circ f)^{- 1} (W) = f^{- 1} (g^{- 1} (W)) .$ 先通过 $g$ 拉回一个 $Y$ 的开集，再通过 $f$ 拉回一个 $X$ 的开集，所以复合连续。

分段定义时，可以检查拼接处。例如左侧取 $f (x) = x$ （ $x \leq 0$ ），右侧取 $f (x) = x^{2}$ （ $x \geq 0$ ），两式在零处都取零、两侧极限也都是零，因而连续。一般的有限闭集拼接定理说：若有限个闭子集覆盖整个空间，各块上的函数连续且在交叠处相同，就能拼成连续函数。证明用闭集逆像：它在各块中闭，有限并在整个空间中仍闭。闭集逆像判据与开集判据等价，因为逆像保持补集。

连续双射还需要什么

若一个双射及其逆映射都连续，称为同胚，表示两个空间有相同的拓扑结构。只有正向连续还不够。

圆周上的点可以用角度 $t \in [0, 2 π)$ 一一表示： $f (t) = (\cos t, \sin t)$ 。这个映射连续且双射。但圆周上从下方趋近 $(1, 0)$ 的点，对应角度可以是 $2 π - 1 / n$ ；这些点趋向 $f (0)$ ，反向角度却不趋向零。因此逆映射在接缝处不连续。

如果定义域紧致、陪域豪斯多夫，连续双射就一定是同胚：定义域的闭子集紧致，其像紧致，而豪斯多夫空间的紧致子集闭，所以逆映射的闭集逆像闭。半开区间 $[0, 2 π)$ 不紧致，正好没有获得这一保证。

同一输入精度能否在所有位置通用

平方函数在实线上连续，但不能对所有位置使用同一个输入阈值。取 $x_{n} = n$ 与 $y_{n} = n + 1 / n$ ，输入差为 $1 / n$ ，趋于零；输出差却为 $y_{n}^{2} - x_{n}^{2} = 2 + \frac{1}{n^{2}},$ 始终大于二。对于输出误差小于一的要求，再小的固定输入阈值，也会在足够远处失效。

若只考虑 $[- M, M]$ ，其中 $M > 0$ ，则有 $| x^{2} - y^{2} | \leq 2 M | x - y |$ 。取 $δ = ε / (2 M)$ 就对整个区间同时有效。这种统一控制称为一致连续性。一般地，紧致度量空间上的连续函数都一致连续。范围变化会改变统一控制能否实现，普通连续性则只要求逐点控制。

连续像保留的两个性质

连续映射把连通空间送到连通的像。若像能分成两个不相交、非空的相对开部分，拉回后就把输入空间分成同样的两个开部分，与连通性矛盾。对实数函数来说，区间连通，因此已达到两个值时，中间的值也会达到。这就是中间值定理与二分法的依据。

连续映射也把紧致空间送到紧致的像。给像一个开覆盖，拉回成为输入空间的开覆盖；在输入空间选出有限子覆盖，对应的有限个输出开集也覆盖整个像。于是紧致空间上的连续实函数会达到最大值和最小值。函数 $1 / x$ 在 $(0, 1)$ 连续却没有最大值，因为这个定义域不紧致。

对于序列，连续性保证 $x_{n} \to a$ 时 $f (x_{n}) \to f (a)$ 。在度量空间中反向也成立：如果在 $a$ 不连续，就有固定的输出误差要求，使每个半径 $1 / n$ 的输入球都含失败点，选出这些点就得到一个趋向 $a$ 、输出却不趋向 $f (a)$ 的序列。一般拓扑空间未必能用序列描述全部邻域，所以那时仍以开集定义为准。

历史

十九世纪的分析把曲线“没有跳跃”的直觉逐步写成局部极限条件。玻尔查诺 1817 年关于连续函数与中间值的研究是重要一环。MacTutor：Bolzano 后来的一般拓扑用邻域与开集表达连续性，使同一个定义也能用于曲面和有限空间。

参考资料与知识联系

Romyar Sharifi，Point-Set Topology，第 2 章 Continuous functions，UCLA：讨论连续、同胚与商映射的定义。
University of Toronto，MAT237，Limits and continuity：度量情形与开集表述。
MacTutor，University of St Andrews，Bernard Bolzano：1817 年工作的历史背景。
前置：函数、极限、拓扑空间；相关：导数、环面、二分法。