欧氏几何：修订间差异

2026年9月20日 (日) 07:35的最新版本

欧氏几何（Euclidean geometry）研究通常的平面与空间中的点、直线、距离和角度。它既可以用圆规、直尺和几何推理研究，也可以在直角坐标系中用方程计算。三角形内角和为两个直角、直角三角形满足勾股定理，都是欧氏几何的基本结论。

一个等距问题

在平面上有两个站点 $A, B$ ，相距六千米。要选一个地点，使它到两个站点的直线距离相同，这样的地点有哪些？

线段中点显然满足要求。从中点向上或向下移动，沿垂直于 $A B$ 的直线走，得到的点也满足要求。原因是：两边直角三角形的一条直角边都是三千米，另一条直角边相同，斜边便相等。这条经过中点、垂直于原线段的直线称为垂直平分线。

中点M为原点，A负三零与B三零在两侧，P零四在垂直平分线上；两个直角三角形的直角边都是三和四，斜边都是五 — 同一条 PM 是两个直角三角形共有的边；底边上的同样刻痕表示 AM 与 MB 相等。

图中取 $P = (0, 4)$ ，便得到两个边长为三、四、五的直角三角形。金色直线表示经过中点 $M$ 的垂直平分线，直角记号标明 $P M ⊥ A B$ 。沿这条线换一个 $P$ ，共同的高度虽改变，两边距离仍相同。

为了找出全部等距点，把中点取为坐标原点，让 $A B$ 沿横轴放置。于是 $A = (- 3, 0)$ 、 $B = (3, 0)$ 。对任意点 $P = (x, y)$ ，勾股定理给出 $P A^{2} = (x + 3)^{2} + y^{2}, P B^{2} = (x - 3)^{2} + y^{2} .$ 距离非负，所以等距等价于距离平方相等。两式相减： $P A^{2} - P B^{2} = (x + 3)^{2} - (x - 3)^{2} = 12 x .$ 因此 $P A = P B$ 恰在 $x = 0$ 时成立。横坐标为零、纵坐标任意的点，正好组成那条垂直平分线。这个计算同时说明它没有漏掉其他等距地点。

什么是定义，什么需要证明

“垂直平分线”这个名称规定了两件事：经过线段中点，且与线段垂直。这是定义。“这条线上恰好包含所有到两端等距的点”则是需要证明的性质。上一节用距离平方完成了证明。

几何还需要一些更基本的出发点。例如通过两个不同点有唯一一条直线，给定圆心与正半径可以作圆。这些存在性和关系的规定称为公理或公设。在一套公理中，已经推导出来的结论称为定理。圆规画出的弧提供构造，证明则说明为什么所得点具有所要求的性质。

欧氏几何的一个关键出发点是平行公理。它的常用表述是：在同一平面中，给定一条直线和线外一点，恰有一条经过该点、与原直线不相交的直线。这里“同一平面”有实际作用：在三维中，两条不相交直线可能位于不同方向的平面中，称为异面直线。

用两个圆构造一个三角形

继续使用站点 $A, B$ ，这次要求新地点 $C$ 到两站的距离都为六千米。先以 $A$ 为圆心画半径六的圆，再以 $B$ 为圆心画同样大小的圆。两圆交点到两圆心都为六，连起来便得到等边三角形。

以A负三零和B三零为圆心的两个半径六的圆交于C零三倍根号三和下方对称点C撇，连接上方交点得到三边均为六的三角形，垂直中线CM长三倍根号三 — 两圆按相同尺度完整绘出；一实一虚的圆周帮助辨认各自圆心，上下两个交点对应底边两侧的两种构造。

先看上方交点 $C$ ： $A C$ 与 $B C$ 分别是两个圆的半径，都等于已有底边 $A B = 6$ 。金色辅助线经过底边中点 $M$ ，把等边三角形分成两个直角三角形。图中高 $C M = 3 \sqrt{3}$ 的精确值可由下面的方程算出；下方交点 $C^{'}$ 则给出关于底边对称的另一个三角形。

这个构造是《几何原本》第一卷命题一的思路。在坐标中还可算出交点的位置。仍取 $A = (- 3, 0), B = (3, 0)$ ，两个圆的方程为 $(x + 3)^{2} + y^{2} = 36, (x - 3)^{2} + y^{2} = 36.$ 相减仍然得到 $12 x = 0$ 。将 $x = 0$ 代回任一式： $9 + y^{2} = 36, y^{2} = 27, y = \pm 3 \sqrt{3} .$ 因此两个交点为 $(0, 3 \sqrt{3})$ 与 $(0, - 3 \sqrt{3})$ ，在线段两侧各有一个。两点都在前一节求出的垂直平分线上；加上“到站点距离为六”的条件，便把一整条候选直线缩小为两个点。

若线段长改为 $s > 0$ ，并设 $A = (0, 0), B = (s, 0)$ ，相同计算得到 $C = (s / 2, \pm \sqrt{3} s / 2)$ 。其中 $\sqrt{3} s / 2$ 就是等边三角形的高。

平行线怎样说明三个内角的和

对非退化三角形 $A B C$ ，记三个内角为 $α = ∠ A$ 、 $β = ∠ B$ 、 $γ = ∠ C$ 。通过顶点 $C$ 作一条与 $A B$ 平行的直线 $ℓ$ 。

不等腰三角形ABC上方过C画平行于AB的虚线，C下方的平角依次分成α、γ、β；两侧的α和β分别与底角内错相等 — 金色虚线是新作的辅助线。相同字母标出相等的内错角，中间的 γ 是原三角形在 C 处的角。

图中先沿 $C A$ 找到两处 $α$ ，再沿 $C B$ 找到两处 $β$ ；它们各是一组平行线的内错角。因此，辅助线下方从左到右的三部分依次为 $α, γ, β$ ，恰好拼成一个平角，得到 $∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ} .$ 在等边三角形中，全等或对称性说明三个角相等，因而每个角为 $6 0^{\circ}$ 。这不是从一幅画中量出的近似数，而是由边的相等和角和推出的精确结果。

同样，凸五边形可以从一个顶点连到两个不相邻顶点，分成三个三角形，内角和为 $3 \times 18 0^{\circ} = 54 0^{\circ}$ 。一般凸 $n$ 边形分成 $n - 2$ 个三角形，内角和为 $(n - 2) 18 0^{\circ}$ 。非凸简单多边形也有这样的角和，但要选择留在内部的三角剖分。

平行假设决定了上述角和。球面上取北极与赤道上经度相差九十度的两点，以大圆弧相连，三个内角都是直角，角和为 $27 0^{\circ}$ 。这些边是球面弧，不是欧氏平面直线，因而属于另一种几何。

坐标、位移和角度

坐标是点的位置记录。若 $P = (1, 2)$ 、 $Q = (4, 6)$ ，从 $P$ 到 $Q$ 的位移为 $Q - P = (3, 4)$ ，长度为五。把原点挪到别处，两点坐标都改变，坐标差却不变。

在直角坐标中，对向量 $u = (u_{1}, u_{2})$ 、 $v = (v_{1}, v_{2})$ ，定义点积 $u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} .$ 长度平方是 $u \cdot u$ 。两个非零向量的夹角 $θ$ 由 $\cos θ = \frac{u \cdot v}{‖ u ‖ ‖ v ‖}$ 给出。特别地，点积为零意味着夹角为直角。例如 $(3, 4)$ 与 $(- 4, 3)$ 的点积为 $- 12 + 12 = 0$ ，两方向垂直。零向量不提供方向，因此不使用这条角度公式。

直线也可用位移表达：经过点 $P$ 、方向为非零向量 $v$ 的直线是所有 $P + t v$ ，其中 $t$ 遍历实数。改变 $t$ 就沿直线前后移动。圆的方程则要求到圆心的距离固定。参数式说明怎样遍历直线，距离式说明怎样检验一个点是否在圆上。

这些简单公式采用互相垂直、单位相同的坐标轴。如果轴是斜的，距离仍可计算，但会出现交叉项；这在勾股定理中有具体例子。

移动图形后，什么保持不变

把前面的等边三角形整体平移或旋转，三边仍为六，三个角仍为六十度。把它关于 $A B$ 反射，上方交点变为下方交点，得到的三角形也有相同的边长和角度。平移、旋转和反射都保持任意两点间的距离，称为等距变换；能由这样的变换重合的图形称为全等。

给定三角形三边，并满足严格三角形不等式，就确定一个全等类型。其原因可用两圆构造理解：固定一条边的两端，其余两边确定两个半径，两圆的两个可能交点关于底边反射，得到全等的三角形。两边及其夹角也足以确定全等类型；若给的是两边和非夹角，圆与一条射线可能有两个距离不同的交点，便可能得到两个不全等三角形。

若把图形统一放大两倍，角不变，长度变为两倍，面积变为四倍，这称为相似。只沿横向拉伸则不同：圆会变成椭圆，角通常也改变。研究一个变换时，先确定它保留长度、角度还是只有平行关系，就能知道哪些几何结论可继续使用。

三角形三边若满足 $a + b = c$ ，两圆只在底线上相切，三点共线，面积为零。若 $a + b < c$ ，圆不能相交，三角形不存在。因此三角形不等式同时是“折线比直线长”的性质与作图能够完成的条件。

从等距点到定位

如果再增加第三个与 $A, B$ 不共线的站点 $D$ ，要求新地点到三站一样远，那么它既要在 $A B$ 的垂直平分线上，又要在 $A D$ 的垂直平分线上。两线交点就是三角形 $A B D$ 的外心。

取 $D = (0, 4)$ ，前面已知候选点形如 $P = (0, y)$ 。令 $P A^{2} = P D^{2}$ ，得到 $9 + y^{2} = (y - 4)^{2} = y^{2} - 8 y + 16.$ 消去 $y^{2}$ 后， $8 y = 7$ ，所以外心为 $(0, 7 / 8)$ 。它到三点的距离都是 $25 / 8$ ：到 $D$ 是 $4 - 7 / 8 = 25 / 8$ ，到 $A$ 的距离平方为 $9 + 49 / 64 = 625 / 64$ 。

这一定位用的是直线距离。若真实通行必须沿道路，等路程地点未必落在垂直平分线上；几何模型应由题目所要求的距离来选择。

历史

欧几里得约在公元前 300 年前后活动于亚历山大里亚。《几何原本》把几何和数论材料组织成由定义、公设到命题的演绎体系，第一卷开头的等边三角形构造就是其中的例子。MacTutor：Euclid

古典证明中的点线顺序、交点存在性等细节，在后来的基础研究中得到更明确的处理。希尔伯特于 1899 年出版《几何基础》，系统区分关联、顺序、全等、平行与连续性等公理。MacTutor：Hilbert 这些工作使综合作图与坐标模型之间的联系有了更精确的基础。

参考资料与知识联系

Euclid，Elements，Book I，David E. Joyce 编注：定义、公设与初等构造。
MacTutor，University of St Andrews：Euclid、David Hilbert。可参阅人物背景与《几何基础》出版年代。
前置：集合；相关：勾股定理、向量空间、圆锥曲线；进一步比较：拓扑空间、环面。

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-'''欧氏几何'''（Euclidean geometry）研究满足欧氏公理体系的点、直线、平面以及由它们构成的图形。其平行关系、距离和角度与通常的平面直线几何一致。现代最常用的模型是实数坐标空间配备标准内积；二维情形称为欧氏平面，三维情形称为欧氏空间。欧氏几何既可用不依赖坐标的综合方法研究，也可用坐标和代数计算研究。
+'''欧氏几何'''（Euclidean geometry）研究通常的平面与空间中的点、直线、距离和角度。它既可以用圆规、直尺和几何推理研究，也可以在直角坐标系中用方程计算。三角形内角和为两个直角、直角三角形满足勾股定理，都是欧氏几何的基本结论。
-“欧氏”不是“凭肉眼看起来平直”的同义词，而是对采用何种数学结构的说明。球面上的最短路径、城市街区的路程、网络上的最少边数，都可以研究距离，却不会自动满足欧氏平面的全部定理。确定模型之后，图形才有可检验的性质。
+== 一个等距问题 ==
+在平面上有两个站点 <math>A,B</math>，相距六千米。要选一个地点，使它到两个站点的直线距离相同，这样的地点有哪些？
-== 从作图经验到公理：哪些事实被当作出发点 ==
+线段中点显然满足要求。从中点向上或向下移动，沿垂直于 <math>AB</math> 的直线走，得到的点也满足要求。原因是：两边直角三角形的一条直角边都是三千米，另一条直角边相同，斜边便相等。这条经过中点、垂直于原线段的直线称为'''垂直平分线'''。
-在纸面上连接两个点、延长线段、画圆，看似只是操作，实际包含了有关对象存在性与唯一性的假设。通过两个不同点有唯一一条直线；给定圆心和正半径有一个圆；把同一个图形作刚体移动不会改变对应长度。这些经验需要整理成明确的出发点，才能说明后面的证明究竟依赖什么。
-欧几里得《几何原本》把定义、公设、共同概念和命题分开组织。其第五公设涉及两条直线被另一条直线截出的一侧内角和小于两个直角时的相交行为。现代初等教材常采用等价的平行公理版本：给定一条直线和线外一点，恰有一条经过该点的直线不与原直线相交。等价性要在合适的其他几何公理背景下成立，不能把任何一句“平行线永不相交”都当成完整公理。
+[[File:Gezhi-teaching-euclid-bisector.svg|frame|center|alt=中点M为原点，A负三零与B三零在两侧，P零四在垂直平分线上；两个直角三角形的直角边都是三和四，斜边都是五|同一条 PM 是两个直角三角形共有的边；底边上的同样刻痕表示 AM 与 MB 相等。]]
-历史原典中的体系不等于现代逻辑意义下所有细节都已显式化。例如点在线段上的顺序、直线把平面分成两侧、某些交点存在性，都需要更精细的公理或说明。希尔伯特后来把关联、顺序、全等、平行和连续性等条件系统区分。这个发展不是否认古典证明的价值，而是把图形直觉中默用的前提写出来。[https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/bookI.html 《几何原本》第一卷]；[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hilbert/ MacTutor：Hilbert]
+图中取 <math>P=(0,4)</math>，便得到两个边长为三、四、五的直角三角形。金色直线表示经过中点 <math>M</math> 的垂直平分线，直角记号标明 <math>PM\perp AB</math>。沿这条线换一个 <math>P</math>，共同的高度虽改变，两边距离仍相同。
-因此，一个几何证明至少要区分三种陈述：定义规定一个名称的含义；公理规定本体系接受什么关系；定理则需要从已接受的前提推出。把图上测出的角度称为证明，或把需要证明的结论偷偷包含在定义里，都会改变论证的性质。
+为了找出全部等距点，把中点取为坐标原点，让 <math>AB</math> 沿横轴放置。于是 <math>A=(-3,0)</math>、<math>B=(3,0)</math>。对任意点 <math>P=(x,y)</math>，勾股定理给出
+<math display="block">PA^2=(x+3)^2+y^2,\qquad PB^2=(x-3)^2+y^2.</math>
+距离非负，所以等距等价于距离平方相等。两式相减：
+<math display="block">PA^2-PB^2=(x+3)^2-(x-3)^2=12x.</math>
+因此 <math>PA=PB</math> 恰在 <math>x=0</math> 时成立。横坐标为零、纵坐标任意的点，正好组成那条垂直平分线。这个计算同时说明它没有漏掉其他等距地点。
-== 坐标模型：点、向量与距离不是同一类对象 ==
+== 什么是定义，什么需要证明 ==
-在欧氏平面模型中，一个点可由一对实数 <math>P=(x,y)</math> 表示。两个点之差 <math>Q-P</math> 是位移向量，它描述从一个点到另一个点的方向与大小。点作为位置，向量作为位移，在坐标记法上很相似，却承担不同角色；改变原点会改变点坐标，不改变实际位移。
+“垂直平分线”这个名称规定了两件事：经过线段中点，且与线段垂直。这是定义。“这条线上恰好包含所有到两端等距的点”则是需要证明的性质。上一节用距离平方完成了证明。
-标准内积与距离定义为
+几何还需要一些更基本的出发点。例如通过两个不同点有唯一一条直线，给定圆心与正半径可以作圆。这些存在性和关系的规定称为公理或公设。在一套公理中，已经推导出来的结论称为定理。圆规画出的弧提供构造，证明则说明为什么所得点具有所要求的性质。
-<math display="block">u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2,\qquad d(P,Q)=\sqrt{(Q-P)\cdot(Q-P)}.</math>
-非零向量之间的角度 <math>\theta\in[0,\pi]</math> 满足
-<math display="block">\cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}.</math>
-零向量没有确定方向，因此上述角度公式不适用于它。正交对应内积为零，长度由内积确定，[[勾股定理]]在这个模型中表现为正交分量的平方和关系。
-经过点 <math>P</math>、方向向量为非零 <math>v</math> 的直线可写为 <math>P+tv</math>，其中 <math>t\in\mathbb R</math>。圆则由 <math>d(X,C)=r</math> 定义，<math>C</math> 为圆心、<math>r>0</math> 为半径。参数方程提供了遍历对象的方法；隐式方程提供了判断某点是否属于对象的方法，两者常可互相转换。
+欧氏几何的一个关键出发点是平行公理。它的常用表述是：在同一平面中，给定一条直线和线外一点，恰有一条经过该点、与原直线不相交的直线。这里“同一平面”有实际作用：在三维中，两条不相交直线可能位于不同方向的平面中，称为异面直线。
-坐标轴必须互相垂直、单位尺度必须一致，距离才具有上面的简单平方和形式。在斜坐标中仍能计算欧氏距离，但公式需要交叉项；在地图投影上直接计算经纬度差的平方和，也不等于已经计算真实地面距离。坐标是表达工具，实际几何结构不能仅凭数字排列推断。
+== 用两个圆构造一个三角形 ==
+继续使用站点 <math>A,B</math>，这次要求新地点 <math>C</math> 到两站的距离都为六千米。先以 <math>A</math> 为圆心画半径六的圆，再以 <math>B</math> 为圆心画同样大小的圆。两圆交点到两圆心都为六，连起来便得到等边三角形。
-== 平行公理怎样进入三角形内角和 ==
+[[File:Gezhi-teaching-euclid-two-circles.svg|frame|center|alt=以A负三零和B三零为圆心的两个半径六的圆交于C零三倍根号三和下方对称点C撇，连接上方交点得到三边均为六的三角形，垂直中线CM长三倍根号三|两圆按相同尺度完整绘出；一实一虚的圆周帮助辨认各自圆心，上下两个交点对应底边两侧的两种构造。]]
-设 <math>ABC</math> 是一个非退化欧氏三角形。通过顶点 <math>A</math> 作直线平行于 <math>BC</math>。利用平行线的内错角关系，顶点 <math>B</math> 与 <math>C</math> 处的内角，分别等于顶点 <math>A</math> 旁边的两个角。这两个角与原来的 <math>\angle A</math> 顺次组成一个平角，因此
-<math display="block">\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.</math>
-证明的关键不是三角形画得多准确，而是可以作出具有适当性质的平行线，以及平行线的角关系。在通常的中性几何公理背景下，三角形内角和恰为两个直角与欧氏平行公理密切相联；删去平行假设后，不能默认这个角和公式继续成立。
-有了角和结论，把一个简单凸 <math>n</math> 边形从一个顶点分割成 <math>n-2</math> 个三角形，可得其内角和为 <math>(n-2)180^\circ</math>。这个推导把复杂对象分解为已经理解的基本对象，并说明为什么会出现减二。非凸简单多边形也可通过合适三角剖分得到同样公式，但从任意一个顶点直接连线未必全部留在内部，分割方法需要调整。
+先看上方交点 <math>C</math>：<math>AC</math> 与 <math>BC</math> 分别是两个圆的半径，都等于已有底边 <math>AB=6</math>。金色辅助线经过底边中点 <math>M</math>，把等边三角形分成两个直角三角形。图中高 <math>CM=3\sqrt3</math> 的精确值可由下面的方程算出；下方交点 <math>C'</math> 则给出关于底边对称的另一个三角形。
-角和结论还参与很多更进一步的证明，例如勾股拼图中中央四边形为何是正方形。概念间的依赖关系由此可见：证明不是一堆孤立技巧，而是后一个论证把前一个结果作为可靠的步骤。要避免循环论证，就必须知道哪些结果已被独立建立。
+这个构造是《几何原本》第一卷命题一的思路。在坐标中还可算出交点的位置。仍取 <math>A=(-3,0),B=(3,0)</math>，两个圆的方程为
+<math display="block">(x+3)^2+y^2=36,\qquad(x-3)^2+y^2=36.</math>
+相减仍然得到 <math>12x=0</math>。将 <math>x=0</math> 代回任一式：
+<math display="block">9+y^2=36,\qquad y^2=27,\qquad y=\pm3\sqrt3.</math>
+因此两个交点为 <math>(0,3\sqrt3)</math> 与 <math>(0,-3\sqrt3)</math>，在线段两侧各有一个。两点都在前一节求出的垂直平分线上；加上“到站点距离为六”的条件，便把一整条候选直线缩小为两个点。
-== 两个完整构造：等边三角形与垂直平分线 ==
+若线段长改为 <math>s>0</math>，并设 <math>A=(0,0),B=(s,0)</math>，相同计算得到 <math>C=(s/2,\pm\sqrt3s/2)</math>。其中 <math>\sqrt3s/2</math> 就是等边三角形的高。
-=== 在给定线段上构造等边三角形 ===
-给定不同点 <math>A,B</math>，分别以它们为圆心、以 <math>AB</math> 为半径画圆。取两个圆的一个交点 <math>C</math>，则按圆的定义有 <math>AC=AB</math> 与 <math>BC=AB</math>，所以三边相等。这是《几何原本》第一卷命题一的基本构造思路。
-在坐标模型中可以完整验证交点确实存在。经平移旋转，把端点设为 <math>A=(0,0)</math>、<math>B=(s,0)</math>，其中 <math>s>0</math>。两圆的方程是 <math>x^2+y^2=s^2</math> 和 <math>(x-s)^2+y^2=s^2</math>。相减得 <math>x=s/2</math>，再代回得 <math>y=\pm\sqrt3s/2</math>。两种符号对应线段两侧的两个等边三角形。构造图像、等长理由与交点存在性在这里分别得到说明。
+== 平行线怎样说明三个内角的和 ==
+对非退化三角形 <math>ABC</math>，记三个内角为 <math>\alpha=\angle A</math>、<math>\beta=\angle B</math>、<math>\gamma=\angle C</math>。通过顶点 <math>C</math> 作一条与 <math>AB</math> 平行的直线 <math>\ell</math>。
-=== 到两个端点等距的全部点 ===
+[[File:Gezhi-teaching-euclid-angle-sum.svg|frame|center|alt=不等腰三角形ABC上方过C画平行于AB的虚线，C下方的平角依次分成α、γ、β；两侧的α和β分别与底角内错相等|金色虚线是新作的辅助线。相同字母标出相等的内错角，中间的 γ 是原三角形在 C 处的角。]]
-取 <math>A=(-a,0)</math>、<math>B=(a,0)</math>，其中 <math>a>0</math>。点 <math>P=(x,y)</math> 满足 <math>PA=PB</math> 当且仅当
-<math display="block">(x+a)^2+y^2=(x-a)^2+y^2.</math>
-化简得 <math>4ax=0</math>，因此 <math>x=0</math>。这条直线经过中点，且垂直于线段 <math>AB</math>，正是垂直平分线。反向代入也成立，故不是只找到了某些等距点，而是找到了全部等距点。
-这一点集描述可以用于定位。例如平面上某设施要求距两个站点同样远，它的位置应落在相应垂直平分线上；若还要求距第三个不共线站点同样远，则需要与另一条垂直平分线相交，得到三角形外心。数学模型只表达等距条件，不会自动处理地形、道路或可建区域等现实限制。
+图中先沿 <math>CA</math> 找到两处 <math>\alpha</math>，再沿 <math>CB</math> 找到两处 <math>\beta</math>；它们各是一组平行线的内错角。因此，辅助线下方从左到右的三部分依次为 <math>\alpha,\gamma,\beta</math>，恰好拼成一个平角，得到
+<math display="block">\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ.</math>
-== 保持什么，决定哪一种图形被视为相同 ==
+在等边三角形中，全等或对称性说明三个角相等，因而每个角为 <math>60^\circ</math>。这不是从一幅画中量出的近似数，而是由边的相等和角和推出的精确结果。
-平移、旋转和反射都保持欧氏距离，称为等距变换。在坐标中，常写为 <math>X\mapsto QX+t</math>，其中 <math>Q^{\mathsf T}Q=I</math>、<math>t</math> 为固定向量。验证距离保持只需计算
-<math display="block">\|Q(P-Q_0)\|^2=(P-Q_0)^{\mathsf T}Q^{\mathsf T}Q(P-Q_0)=\|P-Q_0\|^2.</math>
-这里用 <math>Q_0</math> 表示一个点，以免与变换矩阵 <math>Q</math> 混淆。点名和矩阵名在同一公式中区分清楚，也是避免符号误读的一部分。
-两个图形若可通过等距变换重合，称为全等。若还允许统一比例伸缩，则得到相似关系；对应角保持不变，长度按同一比例变化，面积按比例平方变化。相似保留形状比例，却不保留实际大小，所以不能把两个相似三角形的对应边直接判为相等。
-若允许一般可逆线性变换，平行关系仍保持，但角度和长度通常改变。一个圆可以变成椭圆。若进一步只要求存在双向连续的对应，长度、角度乃至直线性都不再必须保留，研究就转向拓扑等价。欧氏几何、仿射观点和拓扑观点关注不同的不变量；它们并非精确与粗糙的简单排序，而是服务于不同问题。
-坐标法也不意味着几何对象依赖某套坐标。把同一三角形旋转后，其坐标改变，三边长度和内角不变。识别这种“不随表示改变而改变”的量，能把复杂算式重新还原成几何陈述。在[[圆锥曲线]]中，消去交叉项就是换一组更合适的坐标来描述同一条曲线。
-== 欧氏结论在哪些边界失效 ==
+同样，凸五边形可以从一个顶点连到两个不相邻顶点，分成三个三角形，内角和为 <math>3\times180^\circ=540^\circ</math>。一般凸 <math>n</math> 边形分成 <math>n-2</math> 个三角形，内角和为 <math>(n-2)180^\circ</math>。非凸简单多边形也有这样的角和，但要选择留在内部的三角剖分。
-球面上把大圆弧作为局部测地线，可以构造一个顶点在北极、另外两个顶点在赤道且经度相差九十度的三角形。它的三个内角都为直角，内角和为二百七十度。这不是对欧氏定理的反例，因为其边不是欧氏平面中的直线段，空间结构已经改变；它是说明假设重要性的对照模型。
-在平面中定义 <math>d_1(P,Q)=|x_P-x_Q|+|y_P-y_Q|</math>，仍得到一个合法距离，但它的单位“圆”是菱形。沿不同方向的长度关系与欧氏模型不同，通常的旋转也不全保持这个距离。把“满足距离公理”与“具有欧氏内积结构”混为一谈，就会把错误公式带入新的空间。
+平行假设决定了上述角和。球面上取北极与赤道上经度相差九十度的两点，以大圆弧相连，三个内角都是直角，角和为 <math>270^\circ</math>。这些边是球面弧，不是欧氏平面直线，因而属于另一种几何。
-退化配置也要单独处理。三个共线点不能构成通常意义下的非退化三角形；零长度线段不能提供方向；三维中两条不相交直线还可能异面，并不一定平行。许多从平面经验得到的说法在维数改变后必须补充“共面”条件。准确的百科定义应把这些条件放在结论附近，而非留到失败时再解释。
+== 坐标、位移和角度 ==
+坐标是点的位置记录。若 <math>P=(1,2)</math>、<math>Q=(4,6)</math>，从 <math>P</math> 到 <math>Q</math> 的位移为 <math>Q-P=(3,4)</math>，长度为五。把原点挪到别处，两点坐标都改变，坐标差却不变。
-现实测量则有另外一类边界：有限精度的数据不能严格证明两线平行或两角相等。几何模型可以给出精确命题，观测只能在误差范围内支持某种模型。例如三边测量近似满足勾股关系，最多支持“与直角相容”的判断，不能从有限小数推出无误差的直角。[[数学建模]]需要同时管理模型假设与测量误差。
+在直角坐标中，对向量 <math>u=(u_1,u_2)</math>、<math>v=(v_1,v_2)</math>，定义点积
+<math display="block">u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2.</math>
+长度平方是 <math>u\cdot u</math>。两个非零向量的夹角 <math>\theta</math> 由
+<math display="block">\cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}</math>
+给出。特别地，点积为零意味着夹角为直角。例如 <math>(3,4)</math> 与 <math>(-4,3)</math> 的点积为 <math>-12+12=0</math>，两方向垂直。零向量不提供方向，因此不使用这条角度公式。
-== 全等判定为什么需要足够的信息 ==
+直线也可用位移表达：经过点 <math>P</math>、方向为非零向量 <math>v</math> 的直线是所有 <math>P+tv</math>，其中 <math>t</math> 遍历实数。改变 <math>t</math> 就沿直线前后移动。圆的方程则要求到圆心的距离固定。参数式说明怎样遍历直线，距离式说明怎样检验一个点是否在圆上。
-三角形三边给定时，若满足严格三角形不等式，就能在欧氏平面中确定一个全等类型；镜像绘制的两个三角形仍全等，因为反射也保持距离。给定两边及其夹角同样足够，这对应边角边判定。夹角之所以重要，是因为它直接控制两条已知线段的相对方向，而不是任意一个远处角度。
-若给定两边以及其中一边所对的角，通常可能出现两个不同三角形。设已知一个锐角，沿该角的一条射线放置一个端点，再以另一条已知边长画圆；圆与另一射线可能有两个可行交点。两个交点分别给出不同的第三边长度，所以“知道两边和一个角”不是一个不带条件的全等判据。描述已知数据在图形中的相对位置，是定理陈述的一部分。
+这些简单公式采用互相垂直、单位相同的坐标轴。如果轴是斜的，距离仍可计算，但会出现交叉项；这在[[勾股定理]]中有具体例子。
-三角形不等式也有几何意义。任意两边长度之和大于第三边，表示绕经第三个顶点的折线比直接线段更长。若等号成立，三个点共线，面积为零；若和更小，则不存在这样的欧氏三角形。算法在根据三边画图或计算面积前，先验证这些关系，可以把“输入不合法”与“绘图程序出错”区分开。
+== 移动图形后，什么保持不变 ==
+把前面的等边三角形整体平移或旋转，三边仍为六，三个角仍为六十度。把它关于 <math>AB</math> 反射，上方交点变为下方交点，得到的三角形也有相同的边长和角度。平移、旋转和反射都保持任意两点间的距离，称为'''等距变换'''；能由这样的变换重合的图形称为'''全等'''。
-面积还提供一种不依赖朝向的检查。在坐标中，三角形 <math>A,B,C</math> 的面积为 <math>\frac12|\det(B-A,C-A)|</math>。行列式为零恰对应两个位移线性相关，也就是三点共线。反射改变带符号行列式的符号，但绝对面积不变；统一放大使面积按比例平方变化。由此可同时看见代数计算、退化条件和变换不变量之间的联系。
+给定三角形三边，并满足严格三角形不等式，就确定一个全等类型。其原因可用两圆构造理解：固定一条边的两端，其余两边确定两个半径，两圆的两个可能交点关于底边反射，得到全等的三角形。两边及其夹角也足以确定全等类型；若给的是两边和非夹角，圆与一条射线可能有两个距离不同的交点，便可能得到两个不全等三角形。
-三维中的距离最短问题往往通过正交投影降到平面。点到平面的距离是沿法向方向的分量长度；任何斜着走向平面的线段都还带有切向分量，根据勾股分解不可能更短。这个理由说明“垂直段最短”不是一条只凭图形记忆的规则，而是欧氏正交结构的后果。换用其他距离或约束路径后，最短路线未必仍如此。
+若把图形统一放大两倍，角不变，长度变为两倍，面积变为四倍，这称为相似。只沿横向拉伸则不同：圆会变成椭圆，角通常也改变。研究一个变换时，先确定它保留长度、角度还是只有平行关系，就能知道哪些几何结论可继续使用。
-== 历史：欧几里得的整理与后来的基础重建 ==
+三角形三边若满足 <math>a+b=c</math>，两圆只在底线上相切，三点共线，面积为零。若 <math>a+b<c</math>，圆不能相交，三角形不存在。因此三角形不等式同时是“折线比直线长”的性质与作图能够完成的条件。
-欧几里得约在公元前 300 年前后活动于亚历山大里亚，《几何原本》系统组织了此前已经发展起来的几何与数论知识。现存材料不足以把书中每个命题都归为他个人首次发现；他的历史地位与系统化、演绎组织和文本传播密切相关。[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/ MacTutor：Euclid]
-对平行公设的研究在十九世纪促成非欧几何的发展，改变了人们把欧氏几何视为唯一可能几何的观念。希尔伯特的《几何基础》初版于 1899 年，推动了公理之间关系的精确分析。[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hilbert/ MacTutor：Hilbert] 从这条历史线索看，欧氏几何并非被新理论废弃，而是被更清楚地辨认为具有特定公理和适用范围的数学体系。
+== 从等距点到定位 ==
+如果再增加第三个与 <math>A,B</math> 不共线的站点 <math>D</math>，要求新地点到三站一样远，那么它既要在 <math>AB</math> 的垂直平分线上，又要在 <math>AD</math> 的垂直平分线上。两线交点就是三角形 <math>ABD</math> 的外心。
-== English overview ==
+取 <math>D=(0,4)</math>，前面已知候选点形如 <math>P=(0,y)</math>。令 <math>PA^2=PD^2</math>，得到
-<div lang="en" class="math-english-summary">
+<math display="block">9+y^2=(y-4)^2=y^2-8y+16.</math>
-Euclidean geometry studies points, lines, planes, and figures within a Euclidean axiom system. Its familiar coordinate model is real affine space equipped with the standard inner product. Points represent positions, vectors represent displacements, and the inner product determines lengths and angles. Choosing coordinates describes the geometry without making geometric facts dependent on that choice.
+消去 <math>y^2</math> 后，<math>8y=7</math>，所以外心为 <math>(0,7/8)</math>。它到三点的距离都是 <math>25/8</math>：到 <math>D</math> 是 <math>4-7/8=25/8</math>，到 <math>A</math> 的距离平方为 <math>9+49/64=625/64</math>。
-The parallel postulate is a structural assumption, not merely a statement that parallel lines do not meet. In an appropriate background of geometric axioms, it supports the familiar angle-sum theorem for triangles. Constructions also require existence arguments: drawing two circles in a sketch does not, by itself, justify an intersection.
+这一定位用的是直线距离。若真实通行必须沿道路，等路程地点未必落在垂直平分线上；几何模型应由题目所要求的距离来选择。
-Congruence is associated with distance-preserving transformations, while similarity also allows a uniform change of scale. More general affine maps preserve parallelism but may change angles, and topological equivalence preserves still different properties. These distinctions explain why a circle may become an ellipse under one kind of transformation without being congruent to it. Spherical triangles, non-Euclidean metrics, degenerate configurations, and measurement uncertainty mark important boundaries of elementary formulas. Historically, Euclid organized an influential deductive system; later developments, including Hilbert's axiomatization, clarified assumptions that earlier geometric reasoning often left implicit.
+== 历史 ==
-</div>
+欧几里得约在公元前 300 年前后活动于亚历山大里亚。《几何原本》把几何和数论材料组织成由定义、公设到命题的演绎体系，第一卷开头的等边三角形构造就是其中的例子。[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/ MacTutor：Euclid]
-== 编者评注（AI 辅助） ==
+古典证明中的点线顺序、交点存在性等细节，在后来的基础研究中得到更明确的处理。希尔伯特于 1899 年出版《几何基础》，系统区分关联、顺序、全等、平行与连续性等公理。[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hilbert/ MacTutor：Hilbert] 这些工作使综合作图与坐标模型之间的联系有了更精确的基础。
-<div class="math-editorial-note">
-本站将本条目定位为几何阅读的入口，重点不是罗列所有定理，而是说明定义、公理、模型和证明各自承担什么工作。等边三角形与垂直平分线的构造把图形直觉落实为可核查论证，变换部分则说明什么性质应当保持。这样的安排有助于随后阅读勾股、圆锥与拓扑条目，避免把换坐标、改变度量和改变空间混作同一件事。这是教学组织判断，不是新的几何命题。
-</div>
 == 参考资料与知识联系 ==
 * Euclid，[https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/bookI.html Elements，Book I]，David E. Joyce 编注：定义、公设与初等构造。
-* MacTutor，University of St Andrews：[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/ Euclid]、[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hilbert/ David Hilbert]。用于核对人物背景与《几何基础》出版年代。
+* MacTutor，University of St Andrews：[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euclid/ Euclid]、[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hilbert/ David Hilbert]。可参阅人物背景与《几何基础》出版年代。
 * 前置：[[集合]]；相关：[[勾股定理]]、[[向量空间]]、[[圆锥曲线]]；进一步比较：[[拓扑空间]]、[[环面]]。
 [[分类:几何]]