圆与弧度

圆（circle）是平面上到一个定点距离相同的所有点组成的曲线。定点叫圆心，共同的距离叫半径。弧度（radian）则用圆弧的长度与半径之比来量角；它使角度、路程和面积可以直接放进同一组公式。

设一只半径为 6 厘米的圆盘，从指针朝右的位置逆时针转过 $60^{\circ }$。指针尖端走过的不是连接起点和终点的直线，而是圆周上的一段弧。先弄清这段弧占整圈的多少，再计算长度。

圆心、半径与坐标方程

在直角坐标系中，圆心为 $C=(a,b)$、半径为 $r>0$ 的圆，满足 $$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2.$$ 这是勾股定理给出的距离公式：从 $C$ 到 $P=(x,y)$ 的水平、竖直位移分别为 $x-a$、$y-b$，直线距离的平方就是这两个位移平方之和。

例如 $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$ 的圆心是 $(2,-1)$，半径是 3。点 $(2,2)$ 在圆上，因为它与圆心相距 3；点 $(2,0)$ 在圆内，因为距离只有 1。等式给出圆周，不等式 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2\le r^2$ 才包括圆内的区域。

若 $r=0$，方程只留下圆心一个点；若右端为负实数，则没有实平面上的点满足。说“半径为正”排除了这些退化情形。

一周对应 2π 弧度

把圆周长记为 $2\pi r$。圆心角占整周的比例，也等于它截出的弧占整个圆周的比例。若弧长为 $s$，定义弧度数 $$\theta =\frac{s}{r}.$$ 走完一周时 $s=2\pi r$，所以整周为 $2\pi$ 弧度；半周为 $\pi$，直角为 $\pi /2$。与一周 $360^{\circ }$ 对应，换算式是 $${\theta }_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}={\theta }_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}}\frac{\pi }{180}.$$ 因此开头的 $60^{\circ }$ 是 $\pi /3$ 弧度，圆盘边缘经过的弧长为 $s=r\theta =6(\pi /3)=2\pi$ 厘米。把角度数 60 直接代入 $s=r\theta$ 会多算约 57 倍；这条公式里的角必须先化成弧度。

弧长是沿圆周量出的距离，不是两端点之间的弦长。

为比较两种距离，在图中连接弧的两端得到一条弦。本例两条半径夹角为 $60^{\circ }$，所成三角形是等边三角形，弦长只有 6 厘米，小于弧长 $2\pi$ 厘米。弧与弦会在角很小时接近，却不应混写为同一长度。

扇形面积与角度

同一圆中的扇形面积也按圆心角的比例分配。整圆面积为 $\pi r^2$，角 $\theta$ 弧度占整周的比例为 $\theta /(2\pi )$，于是 $$A=\frac{\theta }{2\pi }\pi r^2=\frac{1}{2}{r}^2\theta =\frac{1}{2}rs.$$ 开头的扇形面积为 $\frac{1}{2}\cdot 6^2\cdot \frac{\pi }{3}=6\pi$ 平方厘米。面积的单位是平方厘米，弧长的单位是厘米；同一个角度不使二者变成同一种量。

如果转动方向改为顺时针，可给角度记负号以记录方向；几何弧长和面积仍取非负值。在绝对值不超过一周的简单情形，长度写成 $r|\theta |$，面积写成 $r^2|\theta |/2$。超过一周时，转过的总路程与起终点之间的一段短弧也要区分。

从转角到坐标

把半径缩放到 1，并把圆心放在原点，就得到单位圆。转角不再只给出“走了多远”，还决定终点的横坐标和纵坐标。以弧度作为输入，正弦、余弦和欧拉公式的求导公式才具有最简形式。若把角当作度数，求导时会额外出现 $\pi /180$。

试把半径改成 9 厘米，转角改成 $120^{\circ }$。弧度为 $2\pi /3$，所以弧长是 $6\pi$ 厘米，扇形面积是 $27\pi$ 平方厘米。这里角度变为原来的两倍，半径变为原来的 $3/2$；面积因而变成原来的 $2(3/2{)}^2=9/2$ 倍，与 $6\pi$ 到 $27\pi$ 的计算吻合。

参考资料

• OpenStax，Precalculus 2e，§5.1 Angles：角度、弧度与弧长。
• 同书 §5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions：半径为一时的弧与坐标。
• 继续阅读：单位圆与三角函数、勾股定理、圆锥曲线。