欧氏几何

欧氏几何（Euclidean geometry）研究通常的平面与空间中的点、直线、距离和角度。它既可以用圆规、直尺和几何推理研究，也可以在直角坐标系中用方程计算。三角形内角和为两个直角、直角三角形满足勾股定理，都是欧氏几何的基本结论。

一个等距问题

在平面上有两个站点 $A, B$ ，相距六千米。要选一个地点，使它到两个站点的直线距离相同，这样的地点有哪些？

线段中点显然满足要求。从中点向上或向下移动，沿垂直于 $A B$ 的直线走，得到的点也满足要求。原因是：两边直角三角形的一条直角边都是三千米，另一条直角边相同，斜边便相等。这条经过中点、垂直于原线段的直线称为垂直平分线。

为了找出全部等距点，把中点取为坐标原点，让 $A B$ 沿横轴放置。于是 $A = (- 3, 0)$ 、 $B = (3, 0)$ 。对任意点 $P = (x, y)$ ，勾股定理给出 $P A^{2} = (x + 3)^{2} + y^{2}, P B^{2} = (x - 3)^{2} + y^{2} .$ 距离非负，所以等距等价于距离平方相等。两式相减： $P A^{2} - P B^{2} = (x + 3)^{2} - (x - 3)^{2} = 12 x .$ 因此 $P A = P B$ 恰在 $x = 0$ 时成立。横坐标为零、纵坐标任意的点，正好组成那条垂直平分线。这个计算同时说明它没有漏掉其他等距地点。

什么是定义，什么需要证明

“垂直平分线”这个名称规定了两件事：经过线段中点，且与线段垂直。这是定义。“这条线上恰好包含所有到两端等距的点”则是需要证明的性质。上一节用距离平方完成了证明。

几何还需要一些更基本的出发点。例如通过两个不同点有唯一一条直线，给定圆心与正半径可以作圆。这些存在性和关系的规定称为公理或公设。在一套公理中，已经推导出来的结论称为定理。圆规画出的弧提供构造，证明则说明为什么所得点具有所要求的性质。

欧氏几何的一个关键出发点是平行公理。它的常用表述是：在同一平面中，给定一条直线和线外一点，恰有一条经过该点、与原直线不相交的直线。这里“同一平面”有实际作用：在三维中，两条不相交直线可能位于不同方向的平面中，称为异面直线。

用两个圆构造一个三角形

继续使用站点 $A, B$ ，这次要求新地点 $C$ 到两站的距离都为六千米。先以 $A$ 为圆心画半径六的圆，再以 $B$ 为圆心画同样大小的圆。两圆交点到两圆心都为六，连起来便得到等边三角形。

这个构造是《几何原本》第一卷命题一的思路。在坐标中还可算出交点的位置。仍取 $A = (- 3, 0), B = (3, 0)$ ，两个圆的方程为 $(x + 3)^{2} + y^{2} = 36, (x - 3)^{2} + y^{2} = 36.$ 相减仍然得到 $12 x = 0$ 。将 $x = 0$ 代回任一式： $9 + y^{2} = 36, y^{2} = 27, y = \pm 3 \sqrt{3} .$ 因此两个交点为 $(0, 3 \sqrt{3})$ 与 $(0, - 3 \sqrt{3})$ ，在线段两侧各有一个。两点都在前一节求出的垂直平分线上；加上“到站点距离为六”的条件，便把一整条候选直线缩小为两个点。

若线段长改为 $s > 0$ ，并设 $A = (0, 0), B = (s, 0)$ ，相同计算得到 $C = (s / 2, \pm \sqrt{3} s / 2)$ 。其中 $\sqrt{3} s / 2$ 就是等边三角形的高。

平行线怎样说明三个内角的和

对非退化三角形 $A B C$ ，通过顶点 $C$ 作一条与 $A B$ 平行的直线。沿这条新直线从左到右看， $C A$ 与 $C B$ 把一个平角分成三部分。中间一部分是原来的 $∠ C$ ；两侧的角分别与 $∠ A, ∠ B$ 互为平行线的内错角，所以分别相等。于是 $∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ} .$ 在等边三角形中，全等或对称性说明三个角相等，因而每个角为 $6 0^{\circ}$ 。这不是从一幅画中量出的近似数，而是由边的相等和角和推出的精确结果。

同样，凸五边形可以从一个顶点连到两个不相邻顶点，分成三个三角形，内角和为 $3 \times 18 0^{\circ} = 54 0^{\circ}$ 。一般凸 $n$ 边形分成 $n - 2$ 个三角形，内角和为 $(n - 2) 18 0^{\circ}$ 。非凸简单多边形也有这样的角和，但要选择留在内部的三角剖分。

平行假设决定了上述角和。球面上取北极与赤道上经度相差九十度的两点，以大圆弧相连，三个内角都是直角，角和为 $27 0^{\circ}$ 。这些边是球面弧，不是欧氏平面直线，因而属于另一种几何。

坐标、位移和角度

坐标是点的位置记录。若 $P = (1, 2)$ 、 $Q = (4, 6)$ ，从 $P$ 到 $Q$ 的位移为 $Q - P = (3, 4)$ ，长度为五。把原点挪到别处，两点坐标都改变，坐标差却不变。

在直角坐标中，对向量 $u = (u_{1}, u_{2})$ 、 $v = (v_{1}, v_{2})$ ，定义点积 $u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} .$ 长度平方是 $u \cdot u$ 。两个非零向量的夹角 $θ$ 由 $\cos θ = \frac{u \cdot v}{‖ u ‖ ‖ v ‖}$ 给出。特别地，点积为零意味着夹角为直角。例如 $(3, 4)$ 与 $(- 4, 3)$ 的点积为 $- 12 + 12 = 0$ ，两方向垂直。零向量不提供方向，因此不使用这条角度公式。

直线也可用位移表达：经过点 $P$ 、方向为非零向量 $v$ 的直线是所有 $P + t v$ ，其中 $t$ 遍历实数。改变 $t$ 就沿直线前后移动。圆的方程则要求到圆心的距离固定。参数式说明怎样遍历直线，距离式说明怎样检验一个点是否在圆上。

这些简单公式采用互相垂直、单位相同的坐标轴。如果轴是斜的，距离仍可计算，但会出现交叉项；这在勾股定理中有具体例子。

移动图形后，什么保持不变

把前面的等边三角形整体平移或旋转，三边仍为六，三个角仍为六十度。把它关于 $A B$ 反射，上方交点变为下方交点，得到的三角形也有相同的边长和角度。平移、旋转和反射都保持任意两点间的距离，称为等距变换；能由这样的变换重合的图形称为全等。

给定三角形三边，并满足严格三角形不等式，就确定一个全等类型。其原因可用两圆构造理解：固定一条边的两端，其余两边确定两个半径，两圆的两个可能交点关于底边反射，得到全等的三角形。两边及其夹角也足以确定全等类型；若给的是两边和非夹角，圆与一条射线可能有两个距离不同的交点，便可能得到两个不全等三角形。

若把图形统一放大两倍，角不变，长度变为两倍，面积变为四倍，这称为相似。只沿横向拉伸则不同：圆会变成椭圆，角通常也改变。研究一个变换时，先确定它保留长度、角度还是只有平行关系，就能知道哪些几何结论可继续使用。

三角形三边若满足 $a + b = c$ ，两圆只在底线上相切，三点共线，面积为零。若 $a + b < c$ ，圆不能相交，三角形不存在。因此三角形不等式同时是“折线比直线长”的性质与作图能够完成的条件。

从等距点到定位

如果再增加第三个与 $A, B$ 不共线的站点 $D$ ，要求新地点到三站一样远，那么它既要在 $A B$ 的垂直平分线上，又要在 $A D$ 的垂直平分线上。两线交点就是三角形 $A B D$ 的外心。

取 $D = (0, 4)$ ，前面已知候选点形如 $P = (0, y)$ 。令 $P A^{2} = P D^{2}$ ，得到 $9 + y^{2} = (y - 4)^{2} = y^{2} - 8 y + 16.$ 消去 $y^{2}$ 后， $8 y = 7$ ，所以外心为 $(0, 7 / 8)$ 。它到三点的距离都是 $25 / 8$ ：到 $D$ 是 $4 - 7 / 8 = 25 / 8$ ，到 $A$ 的距离平方为 $9 + 49 / 64 = 625 / 64$ 。

这一定位用的是直线距离。若真实通行必须沿道路，等路程地点未必落在垂直平分线上；几何模型应由题目所要求的距离来选择。

历史

欧几里得约在公元前 300 年前后活动于亚历山大里亚。《几何原本》把几何和数论材料组织成由定义、公设到命题的演绎体系，第一卷开头的等边三角形构造就是其中的例子。MacTutor：Euclid

古典证明中的点线顺序、交点存在性等细节，在后来的基础研究中得到更明确的处理。希尔伯特于 1899 年出版《几何基础》，系统区分关联、顺序、全等、平行与连续性等公理。MacTutor：Hilbert 这些工作使综合作图与坐标模型之间的联系有了更精确的基础。

参考资料与知识联系

Euclid，Elements，Book I，David E. Joyce 编注：定义、公设与初等构造。
MacTutor，University of St Andrews：Euclid、David Hilbert。可参阅人物背景与《几何基础》出版年代。
前置：集合；相关：勾股定理、向量空间、圆锥曲线；进一步比较：拓扑空间、环面。