勾股定理

勾股定理（Pythagorean theorem）是欧氏几何中关于直角三角形边长的定理：如果两条直角边的长度为 $a,b$，斜边的长度为 $c$，那么 $a^2+b^2=c^2$。它既是一个面积关系，也是坐标距离公式和正交分解的基础。逆命题同样成立：一个三角形若满足这一边长关系，那么最长边所对的角是直角。

这里的边长都是正实数；斜边按所对的角定义，不能因为图画中的位置而把水平边叫作斜边。定理讨论欧氏平面中的直线三角形。球面上的测地线三角形、非正交坐标中的分量，以及任意选择的“距离”，都需要另作判断。

三个正方形把长度关系变成面积关系

长度相加适合描述首尾相接的线段，却不能直接描述垂直方向的合成。沿东向走三单位、沿北向走四单位，折线路程是七单位，起点到终点的直线距离却是五单位。七和五分别回答“实际走了多长”与“两点相隔多远”，它们不是互相矛盾的测量结果。

给三条边分别作正方形后，关系变成：两块较小正方形的面积之和等于最大正方形的面积。平方并非为了让式子凑成某种形式，而是把垂直长度与面积拼合联系起来。例如边长为三、四、五的情形，面积分别为九、十六、二十五。单个数值例子可以展示关系，却不能证明所有直角三角形都成立；一般证明必须说明任意正数边长为何满足同一个结论。

把图形整体放大为原来的 $k>0$ 倍，三个面积都乘以 $k^2$，等式保持不变。这解释了定理与尺度无关，也解释了为什么测量时三条边必须采用同一长度单位。把一条边按米记录、另一条边按厘米直接代入，会破坏量纲的一致性。

面积拼合证明：中间为什么确实是正方形

取任意一个直角三角形，两条直角边为 $a,b$，斜边为 $c$，两个锐角分别记为 $\alpha ,\beta$。欧氏三角形的内角和给出 $\alpha +\beta =90^{\circ }$。把四个全等副本放在边长为 $a+b$ 的正方形四角，使各斜边围住中央区域。

四个三角形总面积为 2ab；中央正方形面积为 c²。图形中的边长与正文保持一致。

中央四条边来自四条斜边，所以长度都为 $c$。更关键的是，每个中央内角与相邻的 $\alpha ,\beta$ 合成一个平角，因此它等于 $180^{\circ }-\alpha -\beta =90^{\circ }$。这一步排除了“只有四边相等、却未必是正方形”的漏洞。四个角都是直角后，中央区域才可按边长平方计算面积。

由面积可加性，同一个大正方形满足 $$(a+b{)}^2=4\left(\frac{ab}{2}\right)+c^2.$$ 展开左边，得到 $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$；两边减去相同的面积项 $2ab$，便有 $$a^2+b^2=c^2.$$ 证明没有要求边长是整数，也没有要求两条直角边不相等。图中所画的比例仅为展示，结论涵盖所有非退化欧氏直角三角形。

这个证明使用了全等、三角形内角和和面积的基本性质。若某套教材先用勾股定理建立面积公式，再反过来用该面积公式证明勾股定理，就会出现循环论证。严谨性不仅取决于每一步算式是否正确，还取决于用到的事实在逻辑上是否已经独立建立。欧几里得《几何原本》第一卷命题 47 给出另一条以面积相等为核心的证明路线，紧接着的命题 48 讨论逆命题。原典与编注

从求长度到判定直角：三个完整计算

已知两条直角边

设一块矩形的长为八厘米、宽为六厘米。对角线把它分成两个直角三角形，故对角线长为 $$c=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\mathrm{c}\mathrm{m}.$$ 选择正平方根是因为长度为正；方程 $c^2=100$ 的代数解虽有正负两个，几何量只取正值。矩形周长是二十八厘米，与对角线长度是不同问题。

已知斜边与一条直角边

设一架十三米长的直梯接触竖直墙面，梯脚离墙五米。忽略梯的厚度，并假定地面与墙面垂直，则接触点离地面的高度 $h$ 满足 $$h^2+5^2=13^2,h=\sqrt{169-25}=12\mathrm{m}.$$ 减法来自把已知直角边的平方移项；把十三和五的平方相加会把十三错误地当成另一条直角边。现实梯子是否安全还涉及摩擦、支撑和倾角等条件，这个算例只求理想几何模型中的高度。

只知道三条边

给定边长七、二十四、二十五，先检查它们能组成三角形，再把最长边二十五作为候选斜边。因为 $7+24>25$ 且 $$7^2+24^2=49+576=625=25^2,$$ 逆命题说明二十五所对的角为直角。与此相对，边长二、三、四虽然能组成三角形，却满足 $2^2+3^2=13<16$，因此不是直角三角形。若给出一、二、三，三角形不等式已经失败，不能把这个退化线段配置拿来讨论通常的三角形内角。

逆命题的证明不需要先用余弦定理。另作直角边为 $a,b$ 的直角三角形，设其斜边为 $d$。已经证明的正向定理给出 $d^2=a^2+b^2=c^2$，所以 $d=c$。它与原三角形三边分别相等，由三边全等判定可知相应角相等，原三角形中的对应角因而也是直角。

距离公式与垂足分解

在互相垂直、使用相同单位的平面直角坐标轴中，点 $P=(x_1,y_1)$ 与 $Q=(x_2,y_2)$ 的水平和竖直位移构成直角三角形，于是 $$d(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}.$$ 例如 $P=(-2,1)$、$Q=(4,9)$，两个方向的差分别为六和八，距离为十。坐标差可以为负；平方消去方向，而长度本身保持非负。交换起点和终点改变两个差的符号，不改变距离，符合距离的对称性。

在三维中，先把水平面内的两个分量合成，再与第三个垂直分量合成，得到 $$d=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}.$$ 因此边长二、三、六的长方体体对角线长为 $\sqrt{4+9+36}=7$。这里连续使用了两次二维定理，不是凭观察把第三个平方补进去。更高维欧氏距离也沿同样的正交分解建立。

另一个分解来自直角顶点向斜边作垂线。若斜边被分为长度 $p,q$ 两段，且 $p+q=c$，由相似三角形可得两条直角边的平方分别为 $cp,cq$。相加即得 $a^2+b^2=c(p+q)=c^2$。这条证明把面积关系转化为比例关系，也解释了投影长度为何会与边长平方相联系。垂线长还满足 $h^2=pq$；这是相似关系的另一个结果，不能与主定理的三个边长混用。

从直角三角形到内积空间

在实内积空间中，向量的长度定义为 $\Vert u\Vert =\sqrt{⟨u,u⟩}$。展开和向量的长度平方，有 $$\Vert u+v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+2⟨u,v⟩+\Vert v{\Vert }^2.$$ 若 $u,v$ 正交，即 $⟨u,v⟩=0$，交叉项消失，得到勾股关系。反过来，在实内积空间中这一等式也迫使内积为零。它说明勾股定理的关键不是图形看起来有一个角，而是两个分量之间的交叉贡献恰好为零。

例如 $u=(1,2)$、$v=(2,-1)$ 的内积为零；两向量的长度平方都是五，而 $u+v=(3,1)$ 的长度平方为十。若改为 $v=(2,1)$，内积变为四，和向量的长度平方便多出八，不能继续按两个长度平方相加。对于复内积空间，展开式中出现的是内积的实部；“长度平方可加”本身只推出实部为零，不能不加说明地照搬实空间的逆命题。

正交分解也解释最小二乘法中的最近点。若向量 $x$ 分成子空间中的投影 $p$ 与垂直于子空间的余量 $r$，那么对任意子空间内的候选点 $q$，有 $x-q=r+(p-q)$，且两项正交。因此 $$\Vert x-q{\Vert }^2=\Vert r{\Vert }^2+\Vert p-q{\Vert }^2\ge \Vert r{\Vert }^2.$$ 最小距离在 $q=p$ 时达到。小学几何中的平方和关系由此转化为拟合问题中的误差分解，而不是仅仅成为计算斜边的公式。

适用边界与整数边长

一般欧氏三角形遵循余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$，其中 $C$ 是边 $a,b$ 的夹角。只有 $C=90^{\circ }$ 时，交叉项为零。等边三角形的三边若都为一，显然不可能满足 $1+1=1$；遗漏直角条件不是细小误差，而是改变了定理。

换一种距离也会改变结论。平面中的曼哈顿距离把两个坐标差的绝对值相加，因而从原点到 $(3,4)$ 的距离为七。这是城市街区网格中的一种合理模型，但它不是欧氏直线距离。曲面上的“直线”还需解释为测地线；球面可出现三个角都是直角的三角形，不能套用平面公式。数学上的适用条件决定模型回答哪一种距离问题。

当三条边都为正整数时，称它们为勾股数组。取整数 $m>n>0$，令 $$a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2,$$ 直接展开即可验证等式。取 $m=3,n=2$ 得五、十二、十三。若还要求三个数没有共同因子，则需进一步讨论 $m,n$ 互素且一奇一偶等条件。公式给出的是数论结构；它并不表示每个直角三角形的边长比都能用整数表示。两直角边均为一时，斜边为 $\sqrt{2}$，正好展示了几何长度可能超出有理数。

非正交分量与测量误差

在斜坐标中，两条基向量可能不是垂直的。若单位基向量 $e_1,e_2$ 的夹角为 $\theta$，位移写为 $w=u{e}_1+v{e}_2$，则真正的欧氏长度满足 $$\Vert w{\Vert }^2=u^2+v^2+2uv\cos \theta .$$ 只有基向量正交时，坐标分量的平方和才直接给出长度平方。比如两个单位方向夹角六十度，沿各方向移动一单位，合成位移长度为 $\sqrt{3}$，而不是 $\sqrt{2}$。这并未否定勾股定理，而是说明所选分量不能当成直角边。线性代数中的格拉姆矩阵把这些内积统一组织起来，使距离计算不再依赖坐标轴恰好画成直角。

实际测量中的边长是近似数。假定两条直角边的真实长度为 $a,b$，测量误差为小量 $\Delta a,\Delta b$，由距离函数的一阶变化可得斜边误差近似 $$\Delta c\approx \frac{a}{c}\Delta a+\frac{b}{c}\Delta b.$$ 这是一阶近似而非无条件恒等式；它说明哪条边的误差对结果贡献更大。当所求量改为 $b=\sqrt{c^2-a^2}$ 且两已知长度非常接近时，情况可能敏感得多：两个接近的大平方相减后得到一个很小的数，输入的微小误差或浮点相消可能占结果很大比例。

例如声称斜边约为一百、另一边约为九十九点九九九，却没有给出测量精度，就不足以可靠确定极短的剩余边。代入公式只能得到与输入相匹配的精度，不能从粗略观测凭空产生精确答案。这里需要区分三个问题：几何定理是否精确，输入边长是否精确，计算表达式是否稳定。定理的正确性不会自动解决后两者。

类似地，用观测三边检验直角时，可以先计算残差 $R=a^2+b^2-c^2$，再结合三边的误差范围判断零是否可能。残差绝对值相同，在厘米量级与公里量级的图形中含义不同；必须同时考虑尺度与测量单位。数学百科记录精确关系，而把它用于实验或工程时还要明确误差模型。

历史：关系的使用、一般命题与证明应分开

“毕达哥拉斯定理”这一英文惯用名称不等于可据此认定某个人首次发现全部内容。古巴比伦泥板保留了早于毕达哥拉斯时代的相关长度计算和整数组合；这些材料能够证明当时掌握了具体关系，却不能自动重建出一份已经失传的一般证明。MacTutor：Babylonian Pythagoras

中国传统数学中的“勾”“股”“弦”是直角三角形三边的术语。《周髀算经》及其传世注释是讨论这一传统的重要文献；教材常把不同时期的正文、注释和现代复原图放在一起，因此在追问某幅拼图的具体归属时，需要区分文本层次，不宜把现代常见图形直接当成某位古人的亲笔原图。本文给出的拼合证明是一份现代化自洽展示，并不把它声称为唯一或最早的证明。MacTutor：Ten mathematical classics

约公元前 300 年成书的欧几里得《几何原本》把命题及其逆命题纳入演绎体系。历史上的贡献可以是算法、例表、陈述、证明或系统整理；“谁发现的”若不说明是哪一种贡献，容易把跨文化、跨世纪的发展压缩成一个缺乏证据的名字。

English overview

The Pythagorean theorem states that, in a Euclidean right triangle, the square of the hypotenuse equals the sum of the squares of the two legs. The hypothesis that the angle is right is essential. The theorem concerns straight-line Euclidean distance, rather than the length of a route made of two perpendicular segments.

A dissection proof places four congruent right triangles inside a larger square. Their hypotenuses form a central square because the two acute angles of each triangle add to a right angle. Comparing the total area with the areas of the four triangles and the central square gives the identity. The converse follows by constructing a right triangle with the same two shorter sides and applying the side-side-side congruence criterion.

In Cartesian coordinates, the theorem produces the distance formula. In a real inner product space, it becomes an identity for orthogonal vectors: the mixed inner-product term vanishes. This interpretation also explains why orthogonal projection minimizes distance to a subspace. Integer solutions form Pythagorean triples, but general right triangles need not have rational side ratios. Historical evidence distinguishes early numerical uses from surviving general proofs; the conventional name alone does not establish exclusive priority.

编者评注（AI 辅助）

本站把“条件—证明—计算—推广”作为本条目的主线。勾股定理容易被缩减为开平方的技巧，但真正值得保留的是正交性为何让交叉项消失，以及一个数值验证为何不能替代一般证明。面积证明与投影证明各承担不同解释任务，历史部分则区分使用关系与留下证明。这样的安排旨在让初等几何和后续线性代数接续起来；它是本站的教学取舍，不是对某一种教材顺序的唯一评价。

参考资料与知识联系

• Euclid，《Elements》，第一卷命题 47、48；David E. Joyce 编注，命题 47、命题 48。用于核对定理在古典体系中的陈述与证明位置。
• J. J. O'Connor、E. F. Robertson，Babylonian Pythagoras，MacTutor，University of St Andrews。用于区分古巴比伦材料与后世命名。
• MacTutor：Ten mathematical classics：核对《周髀算经》与勾股传统的文献背景。
• 前置概念：欧氏几何、函数；继续阅读：向量空间、最小二乘法、圆锥曲线、整数整除。