单位圆与三角函数

单位圆（unit circle）是圆心在原点、半径为 1 的圆。给一个实数角 $\theta$，从正 $x$ 轴起逆时针转动 $\theta$ 弧度，终边与单位圆交于 $P$；定义 $P$ 的横坐标为 $\cos \theta$，纵坐标为 $\sin \theta$。三角函数由此不仅能处理三角形，也能描述转动和周期变化。

角度变成两个坐标

单位圆上的点满足 $x^2+y^2=1$。对于角 $\theta$ 的终点， $$P=(\cos \theta ,\sin \theta ),{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1.$$ 第二式不是一条需要背下来的孤立口诀，而是把点 $P$ 代入圆的方程得到的勾股定理。在第一象限，向横轴作垂线便得到一个直角三角形；两条直角边分别是 $\cos \theta$ 和 $\sin \theta$。到了第二、三、四象限，坐标可以为负，但定义仍适用。

横、纵投影是余弦和正弦；两坐标的平方和为一。

图中的点取 $P=(3/5,4/5)$。它确实在圆上，因为 $(3/5{)}^2+(4/5{)}^2=1$。因此这个角的余弦为 $3/5$，正弦为 $4/5$。如果角在第二象限而高度仍为 $4/5$，对应点是 $(-3/5,4/5)$；正弦不变，余弦变号。这可从横轴方向的镜像直接看出。

从等边三角形得到特殊角

对边长为 2 的等边三角形，从一个顶点向对边中点作高。底边被平分为两段长 1，斜边长 2，高由勾股定理为 $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。将整个直角三角形按比例缩小一半，斜边变成 1。于是 $60^{\circ }=\pi /3$ 时， $$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2},\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ 另一个锐角为 $30^{\circ }=\pi /6$，交换两条直角边，就有 $\cos (\pi /6)=\sqrt{3}/2$、$\sin (\pi /6)=1/2$。这四个值来自一张直角三角形，而不是四条互不相干的记忆规则。

若角为 $5\pi /6$，它与正 $x$ 轴夹出的锐角仍是 $\pi /6$，但终点在第二象限，因此 $$(\cos \frac{5\pi }{6},\sin \frac{5\pi }{6})=(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}).$$ 代回圆方程，横纵坐标的平方和仍是 1。

正切、周期与定义域

当 $\cos \theta \ne 0$ 时，正切定义为 $$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }.$$ 在第一象限的直角三角形中，这是“竖直边长除以水平边长”；从原点连到 $P$ 的直线斜率也是这个比值。在 $\theta =\pi /2+k\pi$（$k$ 为整数）处，横坐标为 0，不能除，所以正切没有定义。不能把这一处的“趋向无穷”写成一个实际的函数值。

转满一周回到同一终点，故 $\sin (\theta +2\pi )=\sin \theta$、$\cos (\theta +2\pi )=\cos \theta$。转半周则到对径点，两个坐标同时变号。正切的分子、分母同时变号，所以在有定义的地方 $\tan (\theta +\pi )=\tan \theta$。正弦与余弦的值域均为 $[-1,1]$；正切没有这样的界。

半径改变后仍用同一套函数

半径为 $r$ 的圆上，对应终点是 $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$。例如一个半径 5 米的旋转臂，初始向右，转到 $\theta =\pi /6$ 时，端点相对圆心的位置为 $(5\sqrt{3}/2,5/2)$ 米；其竖直高度为 2.5 米。这里是几何位置，不需要假设它匀速转动。若角度随时间变为 $\theta (t)$，才进一步得到运动模型。

角度输入要区分度数与弧度：$\sin 30^{\circ }=1/2$，而 $\sin 30$ 在通常的数学记法中把 30 视为弧度，结果并非 $1/2$。圆与弧度解释两种单位的换算；三角恒等式继续说明转角相加时坐标如何变化。

参考资料

• OpenStax，Precalculus 2e，§5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions：单位圆定义和象限。
• 同书 §5.1 Angles：角度、弧度和标准位置。
• 继续阅读：三角恒等式、余弦定理、欧拉公式。