有理数的稠密性

有理数的稠密性是说：任意两个不同实数 $a<b$ 之间，都有有理数 $q$ 满足 $a<q<b$。不只是“常能找到”，而是每个非空实数开区间都能找到，而且不止一个。例如 $1<q<\sqrt{2}$ 可取 $q=7/5$。

构造区间里的分数

由阿基米德性质，取正整数 $n$ 使 $n(b-a)>1$。将区间放大 $n$ 倍后，长度超过 1。取比 $na$ 大的最小整数 $m$；于是 $na<m\le na+1<nb$。除以 $n$ 得 $$a<\frac{m}{n}<b.$$ 整数之比 $m/n$ 就是所需有理数。如果 $na$ 恰好是整数，这里选的是严格大于它的下一个整数，仍保证不碰左端点。

同样的构造可在 $(a,q)$ 内再找一个有理数，反复进行，故区间内有无穷多个有理数。无理数也稠密：先在 $(a-\sqrt{2},b-\sqrt{2})$ 找有理数 $r$，则 $r+\sqrt{2}$ 是 $(a,b)$ 内的无理数。

稠密不等于连续

有理数之间总还能插入有理数，但有理数集并不包含所有极限，例如趋近 $\sqrt{2}$ 的有理数列没有有理数极限。稠密性说明“每个区间都碰到”，完备性则关系到收敛序列的极限是否仍留在集合内，两者不是同一个性质。

参考资料

• MIT 18.100B Real Analysis，实数的稠密性讲义。
• MIT 18.100A Fall 2020，实分析讲义。
• 继续阅读：阿基米德性质、上确界原理、数列的极限。