过圆外一点作切线

已知圆心 $O$ 、半径 $R$ 和圆外一点 $P$ ，可以尺规作出从 $P$ 到圆的两条切线。这是《几何原本》第三卷命题 17；若 $P$ 在圆上只剩一条切线，若在圆内则没有实切线。

以 OP 为直径画辅助圆

先作 $O P$ 的中点 $M$ ，以 $M$ 为圆心、 $M O = M P$ 为半径画辅助圆。它与原圆交于 $T_{1}, T_{2}$ 。连接 $P T_{1}, P T_{2}$ ，这就是所求两条线。

因为 $T_{i}$ 在以 $O P$ 为直径的圆上，半圆所对的圆周角给出 $∠ O T_{i} P = 9 0^{\circ}$ 。于是 $P T_{i} ⊥ O T_{i}$ ；由切线与半径垂直，每条 $P T_{i}$ 都是原圆的切线。对称的两个交点给两条切线，而不是一条割线的两个圆周端点。

图中浅色辅助圆穿过 $O, P, T_{1}, T_{2}$ ，金色线段是所得切线。半径为 3、 $O P = 5$ 时，直角三角形 $O P T_{i}$ 给出 $P T_{i} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$ ，两段长度相等。