函数的单调性与最值

函数的单调性比较同一区间内两个输入的先后与输出的大小；最值则问指定范围内能否取得最高或最低的输出。图能帮助猜测上升、下降的位置，正式判断仍要核对定义的范围和每一对输入。

从两个点给出严格定义

设 $f$ 在区间 $I$ 上有定义。如果对任意 $x_1,x_2\in I$，只要 $x_1<x_2$ 就有 $f(x_1)<f(x_2)$，称 $f$ 在 $I$ 上严格递增；若总有 $f(x_1)>f(x_2)$，称为严格递减。允许相等时可说非减或非增。只比较两三个点，不能证明“任意两点”都满足。

看 $f(x)=x^2$。在 $[0,\mathrm{\infty })$ 上取 $0\le x_1<x_2$，有 $$f(x_2)-f(x_1)=x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1)>0.$$ 第一因子为正，第二因子也为正，所以平方函数在这个区间严格递增。在 $(-\mathrm{\infty },0]$ 上，$x_1+x_2<0$，同一差值为负，故严格递减。它在全体实数上并非单调：例如从 $-2$ 到 0 输出下降，从 0 到 2 又上升。说单调性时，区间是结论的一部分。

左右两段颜色对应两个不同的单调区间；图形提示分段，平方差的符号完成证明。

最值要能实际取到

函数 $f$ 在集合 $D$ 上有最大值 $M$，是指存在 $x_0\in D$ 使 $f(x_0)=M$，并且对所有 $x\in D$ 都有 $f(x)\le M$；最小值的方向相反。一个数只是所有函数值的上界，却没有任何输入取到它，就还不是最大值。

例如 $f(x)=x$ 在开区间 $(0,1)$ 上始终小于 1，但没有最大值：任取 $x<1$，$(x+1)/2$ 仍在区间里且更大。换成闭区间 $[0,1]$，1 才成为在右端点取到的最大值。

对 $g(x)=5-(x-2{)}^2$ 且 $x\in [0,4]$，平方非负，故 $g(x)\le 5$，在 $x=2$ 取到最大值 5。又因 $|x-2|\le 2$，平方至多为 4，故 $g(x)\ge 1$，在两个端点取到最小值 1。这里同时检查了内部顶点和端点，不能只找到顶点就宣布所有最值。

一个不是抛物线的例子

考虑 $p(x)=x+\frac{1}{x}$，定义域取 $x>0$。由基本不等式，$x+1/x\ge 2\sqrt{x(1/x)}=2$，且仅当 $x=1/x$ 时等号成立；由于 $x>0$，这个点是 $x=1$。所以最小值是 2。

要进一步找单调区间，不能只靠这个最小值猜测。对 $0<x_1<x_2$，逐项相减并通分： $$p(x_2)-p(x_1)=(x_2-x_1)(1-\frac{1}{x_1{x}_2}).$$ 若 $0<x_1<x_2\le 1$，则 $x_1{x}_2<1$，括号为负，故 $p$ 在 $(0,1]$ 严格递减。若 $1\le x_1<x_2$，则 $x_1{x}_2>1$，括号为正，故它在 $[1,\mathrm{\infty })$ 严格递增。图上的谷底、代数的不等式与差值符号，描述的是同一个位置 $x=1$，但各自回答不同的问题。

在 $x>0$ 上，曲线从左侧下降至 $(1,2)$，随后上升；左端靠近纵轴时没有有限的函数值。

从代数判断迁移到图像

画出 $y=x^2$ 时，左半边向最低点下降、右半边从最低点上升；这能提示应拆成两个区间。代数分解中的 $x_2-x_1$ 固定为正，$x_2+x_1$ 的符号决定升降，恰好解释图上的分界为何在零点。到单调性与极值判别，还可在可导条件下用导数符号作同一判断，但本篇结论不依赖导数。

练习：$h(x)=2x+1$ 在 $[-1,3]$ 上的最小值与最大值是多少？若 $x_1<x_2$，则 $h(x_2)-h(x_1)=2(x_2-x_1)>0$，所以它严格递增；最小值 $h(-1)=-1$，最大值 $h(3)=7$，均在端点取到。

参考资料

• 人民教育出版社，高中数学 A 版章节讲义目录：函数基本性质的课程位置。例题与证明独立编写。
• 继续阅读：函数的奇偶性、二次函数模型、单调性与极值判别。