正切函数的图像与性质

正切函数由单位圆上的纵坐标与横坐标之比定义：$\tan x=\sin x/\cos x$。当横坐标为零时，这个比值没有定义；图像因此被一条条竖直渐近线隔成分支，不能像正弦、余弦那样画成处处连通的波浪线。

定义域与周期

$\cos x=0$ 恰在 $x=\pi /2+k\pi$，其中 $k\in \mathbb{Z}$。所以正切的定义域是全体实数去掉这些角。加上半周时正弦、余弦同时变号，商不变： $$\tan (x+\pi )=\frac{-\sin x}{-\cos x}=\tan x.$$ 最小正周期为 $\pi$。正切还是奇函数，因为 $\tan (-x)=-\tan x$；它经过 $(0,0)$、$(\pi /4,1)$ 和 $(-\pi /4,-1)$。

虚线处余弦为零、正切无定义；一支图像平移 π 就得到下一支。

一条分支上的增减

在 $(-\pi /2,\pi /2)$ 内，$\cos x>0$。若 $x_1<x_2$ 都在此区间，两个角之差满足 $0<x_2-x_1<\pi$，于是 $$\tan x_2-\tan x_1=\frac{\sin (x_2-x_1)}{\cos x_1\cos x_2}>0.$$ 分子为正、分母也为正，因此这一整支严格递增。利用周期性，结论平移到每个 $(-\pi /2+k\pi ,\pi /2+k\pi )$。但不能说正切在整个定义域上严格递增：跨过渐近线，两侧函数值会从很大的正数跳到很大的负数，且渐近线处根本无值。

靠近 $\pi /2$ 的左侧，$\cos x$ 是接近零的正数，$\sin x$ 接近 1，比值趋向正无穷；从右侧靠近时，分母是接近零的负数，比值趋向负无穷。符号随侧别而变，不能把渐近线写成函数达到“无穷大”的点。每条分支的值域都是全体实数。

一次角度判断

求 $\tan (3\pi /4)$：终点在第二象限，$\sin (3\pi /4)=\sqrt{2}/2$、$\cos (3\pi /4)=-\sqrt{2}/2$，所以正切为 −1。也可用 $3\pi /4=-\pi /4+\pi$ 和周期 $\pi$ 得到相同值。两种办法都要求先确认角没有落在无定义位置。

练习：解 $\tan x=1$。一条分支中 $x=\pi /4$，其余同值角与它相差整数个周期，故全部解为 $x=\pi /4+k\pi$，$k\in \mathbb{Z}$。

参考资料

• OpenStax，《Precalculus 2e》，附录 A：基本三角函数图像。
• 继续阅读：三角恒等式、正弦型函数的振幅周期与相位。