圆的方程

圆是平面上到一个固定点距离等于正数 $r$ 的所有点。固定点为圆心，$r$ 为半径。这个距离定义既能解释方程中的平方项，也能区分真正的圆、单点与无实点的方程。

标准方程来自距离定义

设圆心 $C=(a,b)$，动点 $P=(x,y)$。由平面距离公式，$CP=\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}$。因距离与半径非负，$CP=r$ 等价于 $$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2,r>0.$$ 例如圆心 $(2,-3)$、半径 5 的圆为 $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=25$。点 $(5,1)$ 与圆心的坐标差为 $(3,4)$，长度 5，确实在圆上；点 $(2,2)$ 也在圆上。圆心本身到圆心距离为零，不满足半径 5 的圆方程。

一般方程与配方

展开标准式可得 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，其中 $D=-2a$、$E=-2b$、$F=a^2+b^2-r^2$。反过来，分别对 $x,y$ 配方： $${(x+\frac{D}{2})}^2+{(y+\frac{E}{2})}^2=\frac{D^2+E^2}{4}-F.$$ 只有右边严格大于零时，实点集才是圆；等于零时只有圆心一点，小于零时没有实点。以 $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ 为例，配方得 $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=25$，与上例是同一个圆。

三个点能否确定圆

将三个给定点分别代入一般方程，可求 $D,E,F$。例如 $(0,0)$、$(4,0)$、$(0,6)$ 在同一圆上。第一点给出 $F=0$；第二点给出 $16+4D=0$，故 $D=-4$；第三点给出 $36+6E=0$，故 $E=-6$。圆为 $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=13$，半径 $\sqrt{13}$。三个点不共线时，垂直平分线相交于唯一圆心；若三点共线且互异，就不存在经过三点的有限半径圆。重复点也不足以指定唯一圆。

两条弦的中垂线交于 (2,3)；到三个点的距离均为 √13。

已知切点时的切线

若 $T=(x_0,y_0)$ 在圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 上，半径向量 $CT=(x_0-a,y_0-b)$ 与切线垂直。因此过 $T$ 的切线方程是 $$(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0.$$ 对前面的圆，$T=(5,1)$ 在圆上，$CT=(3,4)$，所以切线是 $3(x-5)+4(y-1)=0$，即 $3x+4y-19=0$。圆心到这条直线的距离为 $|3\cdot 2+4(-3)-19|/5=5$，正好等于半径；从代数和几何两边都可确认“相切”。如果给出的 $T$ 不在圆上，半径向量仍可写出，但所谓“该点处的切线”并不存在，必须先代入原圆方程检查。

参考资料

• OpenStax，College Algebra，§2.1：平面距离与圆的坐标表示。
• 先修：勾股定理、直线的方程；后续：直线与圆、圆与圆的位置关系。