直线的交点与距离

直线的交点与距离可以分别用联立方程和正交投影求得。解方程找的是共同满足两条直线条件的点；距离找的是所有连接线段中最短的一条，不能把任选两点的长度当作距离。

联立两条直线

考虑 $L_{1} : x - 2 y + 1 = 0$ 与 $L_{2} : 2 x + y - 8 = 0$ 。第一式给出 $x = 2 y - 1$ ；代入第二式得 $2 (2 y - 1) + y - 8 = 0$ ，所以 $5 y = 10$ 、 $y = 2$ 、 $x = 3$ 。点 $(3, 2)$ 同时代回两式均为零，因而是交点。

一般地， $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ 与 $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ 有唯一交点，当且仅当 $Δ = A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} \neq 0$ 。若 $Δ = 0$ ，两条法向量成比例，可能平行而无交点，也可能重合而有无穷多共同点；将一式化为另一式的倍数即可区别。只说“没有唯一解”不足以判定是哪一种。

点到直线的距离

设直线 $L : A x + B y + C = 0$ ，其中 $A^{2} + B^{2} > 0$ ；给定 $P = (x_{0}, y_{0})$ 。取直线上的任一点 $Q$ ，法向量 $n = (A, B)$ 。由 $n \cdot Q + C = 0$ ， $n \cdot (P - Q) = A x_{0} + B y_{0} + C$ 。沿单位法向量的投影长度，就是垂线段的长度： $d (P, L) = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$ 分子为零时 $P$ 已在直线上。对 $P = (4, 1)$ 与 $L : 3 x + 4 y - 10 = 0$ ，距离为 $| 12 + 4 - 10 | / 5 = 6 / 5$ 。垂足可沿 $- n$ 方向走 $(A x_{0} + B y_{0} + C) / (A^{2} + B^{2})$ 倍，即 $(4, 1) - (6 / 25) (3, 4) = (82 / 25, 1 / 25)$ ；代回 $3 x + 4 y = 10$ 可验。

两条平行线的距离

先把平行线写成使用同一组 $A, B$ 的形式： $A x + B y + C_{1} = 0$ 、 $A x + B y + C_{2} = 0$ 。在第一条线上任选一点代入第二条的点线距离式，因 $A x + B y = - C_{1}$ ，得到 $d (L_{1}, L_{2}) = \frac{| C_{2} - C_{1} |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$ 例如 $3 x + 4 y - 10 = 0$ 与 $3 x + 4 y + 5 = 0$ 相距 $15 / 5 = 3$ 。若第二条写成 $6 x + 8 y + 10 = 0$ ，应先整体除以 2 再比较常数；直接拿未经统一的常数 10 和 −10 作差会得错距离。

点P到直线的斜线段与垂线段对比，另示两条平行线之间共同的法向距离 — 图中的垂线是最短路；平行线间任意一条公垂线都具有同样长度。

参考资料

OpenStax，Precalculus 2e，§2.1：直角坐标与距离。
先修：直线的方程、向量的内积；后续：直线与圆、圆与圆的位置关系。