直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角是在固定的平面直角坐标系里，从 $x$ 轴正方向逆时针转到与直线重合的射线所成的角，取值 $0 \leq α < π$ 。非竖直直线的斜率是 $k = \tan α$ ；竖直直线的斜率没有定义，但倾斜角仍是 $π / 2$ 。

从坐标差得到倾斜角

取直线上横坐标不同的两点 $A = (1, 1)$ 、 $B = (4, 3)$ 。从 $A$ 到 $B$ ，横向走 3，纵向走 2；直角三角形给出 $\tan α = 2 / 3$ ，故 $α = \arctan (2 / 3)$ 。一般地， $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}, x_{2} \neq x_{1} .$ 同一直线上换取另外两点，两个坐标差按相同比例缩放，商不变；这也是斜率与平均变化率中“每横向一单位变化多少”的含义。若直线向右下方走， $k < 0$ ，它的倾斜角在 $π / 2$ 与 $π$ 之间，不能把计算器给出的负的反正切值直接当作所定义的倾斜角。

横向变化三、纵向变化二的直角三角形连接直线上两点，另有一条竖直线标明斜率未定义 — 斜率读的是 2/3；竖直线只有倾斜角 π/2，不能代入有限斜率公式。

平行与垂直的判定

斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ 的两条非竖直直线，可取方向向量 $(1, k_{1})$ 、 $(1, k_{2})$ 。它们平行等价于方向向量成比例，在首坐标同为 1 时就是 $k_{1} = k_{2}$ ；若还经过同一点，两条线重合。它们垂直等价于内积为零，即 $(1, k_{1}) \cdot (1, k_{2}) = 1 + k_{1} k_{2} = 0.$ 所以只有当两条线的斜率都存在时，才可写 $k_{1} k_{2} = - 1$ 。水平线与竖直线也相互垂直，但无法把竖直线的斜率放进乘积；两条竖直线则平行。

例如过 $(2, 1)$ 、斜率为 $2 / 3$ 的直线，与过 $(0, 4)$ 、斜率为 $- 3 / 2$ 的直线垂直，因为 $(2 / 3) (- 3 / 2) = - 1$ 。把第一条线写成 $2 x - 3 y - 1 = 0$ ，第二条写成 $3 x + 2 y - 8 = 0$ ，它们的法向量 $(2, - 3)$ 与 $(3, 2)$ 内积也为零。后一种判定无需处理斜率不存在的例外，见直线的方程。

坐标尺度

上述角度属于坐标轴采用相同长度单位的欧氏平面。若图像的横轴每格代表 1 米，纵轴每格代表 10 米，屏幕上看到的夹角未必是数学定义的倾斜角；斜率 $Δ y / Δ x$ 仍可由原始坐标计算，并带有“纵轴单位/横轴单位”。几何角度计算要先把两轴放在同一长度尺度上。

参考资料

OpenStax，College Algebra 2e，§4.1 Linear Functions：斜率和直线关系。
先修：斜率与平均变化率、向量的内积；后续：直线的方程。