空间直角坐标系与向量坐标

空间直角坐标系用三条两两垂直、相交于原点的数轴确定空间中的位置。点 $P = (x, y, z)$ 的三个数依次记录沿三条轴的有符号位移；向量的坐标则记录起点到终点的位移，两者不是同一种对象。

从房间的一角定位

以房间一角为原点，让 $x, y$ 轴沿地面两条相互垂直的边， $z$ 轴竖直向上。点 $A = (1, 2, 0)$ 在地面上，点 $B = (4, 1, 3)$ 离地三单位。到达 $B$ 的位置向量是 $\vec{O B} = (4, 1, 3)$ ，从 $A$ 到 $B$ 的位移却是 $\vec{A B} = B - A = (4 - 1, 1 - 2, 3 - 0) = (3, - 1, 3) .$ 第二个分量为负表示朝 $y$ 轴反方向移动。若把房间的原点挪走， $A, B$ 的坐标都会改变， $\vec{A B}$ 作为有方向的位移不变。

三条空间坐标轴与点A一二零、点B四一三，虚线标出B到地面的投影 — 从 A 到 B 沿三条轴分别变化 3、−1、3；虚线只帮助读坐标，并非实际路线。

距离公式与中点

沿三条互相垂直的轴依次走 $Δ x, Δ y, Δ z$ ，前两步的合位移长度由勾股定理为 $\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}$ ；它又与竖直的第三步垂直，再用一次勾股定理，得到 $A B = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}} .$ 上例中 $A B = \sqrt{3^{2} + (- 1)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{19}$ 。若 $M$ 是线段 $A B$ 的中点，位移 $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ，故 $M = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ ；每个坐标也恰好是两端坐标的平均。

坐标使运算逐项进行

在固定的右手直角坐标系中，令 $e_{1} = (1, 0, 0)$ 、 $e_{2} = (0, 1, 0)$ 、 $e_{3} = (0, 0, 1)$ 。向量 $u = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ 等于 $u_{1} e_{1} + u_{2} e_{2} + u_{3} e_{3}$ 。于是 $u + v = (u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2}, u_{3} + v_{3}), t u = (t u_{1}, t u_{2}, t u_{3}) .$ 对 $u = (3, - 1, 3)$ 、 $v = (1, 2, - 2)$ ，有 $u + v = (4, 1, 1)$ 、 $2 u - v = (5, - 4, 8)$ 。长度和夹角不能仅凭逐项加法求出；前者用上面的距离公式，后者用向量的内积。三条轴方向确能表示每个空间向量，以及何时换成其他三条方向仍可表示，见空间向量基本定理。

复算。从 $A = (1, 2, 0)$ 出发，按 $\vec{A B}$ 的 $2 / 3$ 走到 $C$ 。代入 $C = A + \frac{2}{3} (3, - 1, 3)$ ，得 $C = (3, \frac{4}{3}, 2)$ ；检查 $B - C = (1, - \frac{1}{3}, 1) = \frac{1}{3} \vec{A B}$ ，说明 $C$ 确在线段内。

参考资料

OpenStax，Calculus Volume 3，§2.2 Vectors in Three Dimensions：三维坐标、长度和位移。
先修：勾股定理、空间向量的线性运算；后续：空间向量基本定理、空间直线与平面的向量方程。