差分方程模型

差分方程模型（difference equation model）用离散时刻之间的更新关系描述变化。它的解是一串状态 $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots$ ：已知起始状态和每一步的规则，就可以逐步计算以后会怎样。月份、生产批次、繁殖季都可以成为步数；状态本身仍可以是实数，并不因为时间离散就必须取整数。

每月留下八成，再补入二十升

考虑一个教学用调蓄水箱。每个月先放出当前水量的20%，再补入20 L水，随后记录一次水量。假定放水比例与补入量固定，没有其他进出水，水箱容量足够。以下参数和数据都是按这一假设构造的，未取自实际水箱的测量。

令 $x_{n}$ 表示第 $n$ 次记录的水量，单位为L； $n$ 是从0开始的整数，每增加1代表经过一个月。初始记录为 $x_{0} = 20$ 。下一次先剩下 $0.8 x_{n}$ ，再加20，故 $x_{n + 1} = 0.8 x_{n} + 20, x_{0} = 20.$ 这里的0.8是无量纲保留比例，20是每一步补入的水量。前几步可直接手算： $\begin{matrix} x_{1} & = 0.8 \times 20 + 20 = 36, \\ x_{2} & = 0.8 \times 36 + 20 = 48.8, \\ x_{3} & = 0.8 \times 48.8 + 20 = 59.04. \end{matrix}$ 增加量依次是16、12.8、10.24 L，逐次变小。虽然每月都补水，也不意味着水量无界增加，因为原有水量越大，同一比例放出的水也越多。

先放水后补水的顺序已经写入方程。若改成先补20 L再放出总水量的20%，规则就变为 $x_{n + 1} = 0.8 (x_{n} + 20) = 0.8 x_{n} + 16$ 。括号的位置对应不同的操作，不能省略为同一个模型。

下一步不变的水量，以及怎样得到全部状态

如果水量已经达到某个值 $x_{*}$ ，下个月仍然等于它，那么 $x_{*} = 0.8 x_{*} + 20.$ 把 $0.8 x_{*}$ 移到左边得到 $0.2 x_{*} = 20$ ，所以 $x_{*} = 100$ L。这是平衡点，也称更新函数的不动点：在100 L时，每月恰好放出20 L，又补入20 L。

仅仅求得平衡点，还没有证明从20 L出发会趋向它。为追踪差距，把原递推减去平衡关系： $x_{n + 1} - 100 = 0.8 x_{n} + 20 - 100 = 0.8 (x_{n} - 100) .$ 令 $e_{n} = x_{n} - 100$ 表示带正负号的偏差，则 $e_{n + 1} = 0.8 e_{n}$ 。连续应用这一等式，得到 $e_{1} = 0.8 e_{0}$ 、 $e_{2} = 0. 8^{2} e_{0}$ ，一般地 $e_{n} = 0. 8^{n} e_{0}, x_{n} = 100 + (x_{0} - 100) 0. 8^{n} .$ 代入 $x_{0} = 20$ ，得到 $x_{n} = 100 - 80 (0.8)^{n} .$ 这个公式满足初值；把它代入更新式，右边变成 $100 - 80 (0.8)^{n + 1}$ ，也正是下一项。因此它给出了整条解，而不只是前几个月的拟合曲线。

由于 $0. 8^{n} > 0$ 并趋向0，本例水量始终低于100 L，且单调增加。若把初值换成160 L，公式则为 $x_{n} = 100 + 60 (0.8)^{n}$ ，水量会从上方单调减少。下图的两串点分别描绘这两种情况；连线只帮助追踪相邻记录，不规定两次记录之间的实际水流过程。

同一更新规则可以产生不同的解；两条解到100 L的偏差都每步缩小为原来的八成。

假如希望水量与100 L相差不超过1 L，需要多少步？条件是 $80 (0.8)^{n} \leq 1.$ 两边取自然对数，得到 $n \log 0.8 \leq - \log 80$ 。由于 $\log 0.8 < 0$ ，除以它时不等号反向，故 $n \geq \frac{\log (1 / 80)}{\log 0.8} \approx 19.638.$ 步数取整数，所以最少20步。复核边界：第19步仍差约1.1529 L，第20步差约0.9223 L。从20 L出发不会在任何有限步恰好达到100 L；“达到平衡”若指实际操作，通常要明确容许误差。

蛛网图为什么要来回走

递推 $x_{n + 1} = F (x_{n})$ 可以画在同一坐标平面里。横轴表示当前值，纵轴表示更新后的值。画出 $y = F (x) = 0.8 x + 20$ ，另画辅助直线 $y = x$ 。

从横轴的20开始，竖直走到更新函数，得到点 $(20, 36)$ 。这一步读出了下一项36。要继续用36作为横坐标，就水平走到 $y = x$ 上的 $(36, 36)$ ；再竖直走到 $(36, 48.8)$ ，便得到下一个更新结果。以后重复“竖直到函数、水平到对角线”，就是蛛网图的构造。

阶梯的两个方向分别完成“算出下一项”和“把下一项搬到横轴”。两条直线的交点就是平衡点。

在100以下，更新直线位于对角线上方，所以下一项比当前项大；在100以上则相反。但这种上下关系本身不足以保证没有超调。本例的确不会越过100，是因为 $x_{n + 1} - 100 = 0.8 (x_{n} - 100)$ 保留了偏差的符号。图上看见的阶梯收缩，正对应已经证明的八成缩小关系。

一阶仿射递推的通式与稳定性

把保留比例与补入量写成一般常数，得到 $x_{n + 1} = a x_{n} + b .$ 它通常称为一阶线性非齐次差分方程；从更新函数的角度看， $a x + b$ 是仿射函数。“一阶”表示下一步只需当前状态；如果规则还依赖 $x_{n - 1}$ ，就需要保存更多历史状态。显式的二阶规则例如 $x_{n + 2} = x_{n + 1} + x_{n}$ ，需要给定两个起始值。取 $x_{0} = 0, x_{1} = 1$ ，才能依次确定后面的1、2、3、5等项。斐波那契在1202年提出的兔子繁殖问题就形成这种二阶递推结构，具体假设与按月计数见Chasnov，《Mathematical Biology》§2.1，印刷页15。

当 $a \neq 1$ 时，平衡点是 $x_{*} = b / (1 - a)$ 。同样相减，可得 $x_{n} = x_{*} + a^{n} (x_{0} - x_{*}) .$ 也可以逐次展开：初始水量留下 $a^{n} x_{0}$ ，每一步补入的量经历不同次数的保留，因此 $x_{n} = a^{n} x_{0} + b (1 + a + \dots + a^{n - 1}) = a^{n} x_{0} + b \frac{1 - a^{n}}{1 - a} .$ 两种形式相同：一种突出距平衡多远，另一种突出初始量和历次输入分别贡献了多少。Marcel Oliver 的讲义《Difference Equations》§2给出了含变系数情形的一般递推解法。

称平衡点稳定，是指初值足够接近它时，以后始终保持接近；在此基础上，附近轨迹还趋于它，则称渐近稳定。对于上面的仿射递推，这些性质直接由 $| a^{n} (x_{0} - x_{*}) |$ 决定。

参数	偏差的变化	平衡点性质
$0 < a < 1$	同号、逐步缩小	渐近稳定，单侧趋近
$a = 0$	一步后偏差为零	一步到达平衡
$- 1 < a < 0$	正负交替，绝对值缩小	渐近稳定，交替趋近
$a = - 1$	正负交替，绝对值不变	稳定但不渐近稳定，非平衡解为二周期
$\| a \| > 1$	非零偏差的绝对值增大	不稳定

例如 $x_{n + 1} = 160 - 0.6 x_{n}$ 的平衡点仍是100。取 $x_{0} = 120$ ，有 $x_{1} = 88$ 、 $x_{2} = 107.2$ 、 $x_{3} = 95.68$ ；偏差20、−12、7.2、−4.32逐次换号缩小。这可以表示围绕目标的过度调节，却不再是“留下负六成水量”的物理保留过程。数学参数允许什么，与具体机制允许什么，要分别检查。

此前除以了 $1 - a$ ，所以还须处理 $a = 1$ 。此时 $x_{n} = x_{0} + n b$ ：若 $b \neq 0$ 就没有平衡点；若 $b = 0$ 则每个状态都是平衡点，邻近的初值各自停在原处，并不互相靠拢。

非线性更新怎样在平衡附近判断

对较一般的 $x_{n + 1} = F (x_{n})$ ，先解 $F (x_{*}) = x_{*}$ 。若 $F$ 在平衡附近连续可微，且 $| F^{'} (x_{*}) | < 1$ ，可以选取一个小邻域及常数 $q < 1$ ，使邻域里处处有 $| F^{'} (x) | \leq q$ 。利用中值定理， $| F (x) - F (x_{*}) | \leq q | x - x_{*} | .$ 只要初值在这个邻域里，下一项离平衡更近，仍留在邻域；逐步应用得到 $| x_{n} - x_{*} | \leq q^{n} | x_{0} - x_{*} | \to 0$ 。这既证明稳定，也证明吸引性。

若 $| F^{'} (x_{*}) | > 1$ ，可在小邻域内取得下界 $| F^{'} (x) | \geq q > 1$ ，同一中值定理使每一步非零偏差至少放大 $q$ 倍，直到离开该邻域，因此不稳定。若导数绝对值恰好为1，这一检验不作结论。例如 $F (x) = x - x^{3}$ 在0附近会把小偏差缩小， $F (x) = x + x^{3}$ 则放大，两者在0的导数却都是1。详细条件与证明见Oliver，§3，定理3。

离散模型、连续采样与欧拉近似

水箱的逐月操作本来就定义了离散过程。若另设持续进水和持续排水，则可以建立微分方程 $\frac{d x}{d t} = q - κ x, q > 0, κ > 0.$ 这里 $t$ 以月计， $q$ 是L/月， $κ$ 是每月的连续排出率。平衡水量为 $x_{*} = q / κ$ ，其精确解为 $x (t) = x_{*} + (x (0) - x_{*}) e^{- κ t}$ 。每隔 $h$ 个月记录一次，精确记录满足 $x_{n + 1} = e^{- κ h} x_{n} + x_{*} (1 - e^{- κ h}) .$ 这不是近似，是连续方程在离散时刻的精确采样关系。

另一种做法，是把一段时间内的变化率近似冻结在该段起点，即显式欧拉法： $x_{n + 1} = x_{n} + h (q - κ x_{n}) = (1 - κ h) x_{n} + q h .$ 它用 $1 - κ h$ 近似 $e^{- κ h}$ 。由指数展开 $e^{- z} = 1 - z + z^{2} / 2 + \dots$ ，可见只保留到一次项时漏掉了从二次开始的项。这里控制近似程度的是无量纲步长 $z = κ h$ ，而不只是步长数字看上去是否小。

例如取 $q = 20$ L/月、 $κ = 0.2$ 每月、 $h = 1$ 月，欧拉法恰好给出开头的 $0.8 x_{n} + 20$ ；但连续方程的精确采样是 $0.818731 x_{n} + 18.126925$ 。从20 L出发，一个月后的连续精确值约为34.5015 L，欧拉值为36 L。两个模型的平衡都是100 L，过程仍有差别。

若坚持让连续方程的月度精确采样与原递推完全相同，应取 $κ = - \log 0.8 \approx 0.223144$ 每月，并令 $q = 100 κ \approx 22.314355$ L/月。它们是由月度保留关系反推的连续参数，不能把“每月排出20%”直接当作连续率0.2而又声称精确相同。

步长怎样制造振荡甚至发散

连续误差满足 $e^{'} = - κ e$ ，始终同号并逐渐消失。欧拉误差却满足 $e_{n + 1} = (1 - κ h) e_{n} .$ 因此渐近稳定要求 $| 1 - κ h | < 1$ ，也就是 $0 < κ h < 2$ 。在 $1 < κ h < 2$ 时，它虽能衰减，却会交替越过平衡；在 $κ h = 2$ 时偏差不衰减；大于2时偏差被放大。若还要求对所有非负初值都保持非负更新，一个充分条件是 $0 \leq κ h \leq 1$ ，使保留系数和输入项都非负。这比只要求渐近稳定更强。

下图取非平衡初值 $e_{0} \neq 0$ ，把偏差除以初始偏差，令 $E = e / e_{0}$ ，再以 $τ = κ t$ 作为横轴。图中用 $δ = κ h$ 标记无量纲步长。连续曲线都是 $E = e^{- τ}$ 。三种欧拉步长的乘数分别为0.5、−0.5、−1.2，因而依次出现同侧衰减、交替衰减和交替放大。变化的是算法步长，同一连续方程并未发生新的振荡机制。

精确采样乘数始终为正的指数；欧拉乘数可以变成负数，甚至绝对值超过一。折线仅连接计算点。

这类稳定性来自每一步误差的放大因子，见Driscoll 与 Braun，《Fundamentals of Numerical Computation》§11.3。判据通过也不保证当前步长已足够准确，还需比较更小步长、精确解或独立误差估计。

输入不精确时，结论能维持到什么程度

假设仍保留八成，但每月实际补入量比20 L多或少 $η_{n}$ ，且 $| η_{n} | \leq ε$ 。用 $d_{n}$ 表示这条受扰轨迹与原轨迹之差，则 $d_{n + 1} = 0.8 d_{n} + η_{n} .$ 展开后有 $d_{n} = (0.8)^{n} d_{0} + \sum_{j = 0}^{n - 1} (0.8)^{n - 1 - j} η_{j} .$ 每一项的意义是：早期输入误差已经经历多次衰减，最新误差还没有衰减。取绝对值并把有限等比和相加，得到 $| d_{n} | \leq (0.8)^{n} | d_{0} | + 5 ε (1 - (0.8)^{n}) .$ 从同一初值出发，若每次输入误差不超过0.1 L，长期轨迹差就不超过0.5 L。若每次都多补0.1 L，新的平衡正是 $20.1 / 0.2 = 100.5$ L，说明这个上界可以逼近。它也适用于同样形式的逐步计算误差，但实际水箱的保留比例变化、容量溢流等机制需要另建方程，不能一概归入固定的输入误差。