相平面

相平面（phase plane）把一个二维系统在同一时刻的两个状态量作为横、纵坐标。随着时间变化，状态点描出一条有方向的轨迹。它适合回答“系统会靠近平衡、绕着平衡运动，还是远离平衡”等问题；若要知道某个状态在第几秒出现，还要结合时间曲线。

两条时间曲线怎样变成一条轨迹

先看一个没有单位的简单系统： $\frac{d u}{d t} = v, \frac{d v}{d t} = - u, u (0) = 1, v (0) = 0.$ 这里 $u, v$ 是两个状态量， $t$ 是时间参数。代入可核对它的解： $u (t) = \cos t, v (t) = - \sin t .$ 在普通函数图中，要分别画 $(t, u (t))$ 和 $(t, v (t))$ 。相平面改为画 $(u (t), v (t))$ ：同一时刻从两条时间曲线各取一个纵坐标，将这两个数配成一点。

例如 $t = 0$ 时状态为 $A = (1, 0)$ ； $t = π / 2$ 时为 $B = (0, - 1)$ ； $t = π$ 时为 $C = (- 1, 0)$ ； $t = 3 π / 2$ 时为 $D = (0, 1)$ 。时间继续增加，点从 $D$ 回到 $A$ ，沿单位圆顺时针运动。

上部是余弦和负正弦时间曲线，下部把相同时刻的两数配为单位圆上的四个状态点，箭头顺时针 — 同一组解的两种画法。字母 A、B、C、D 对应同一批时刻；相图的横轴已经变成 u。

图中的圆没有表示“两个量都一直增加”。从 $A$ 到 $B$ ， $u$ 从 1 降到 0， $v$ 从 0 降到 −1；从 $B$ 到 $C$ ， $u$ 继续下降，而 $v$ 开始上升。相图把两种变化放在同一个位置关系中。

不求显式解，也能读出运动方向

一般的二维自治系统写成 $u^{'} = F (u, v), v^{'} = G (u, v) .$ “自治”指右侧没有显式出现时间：知道现在的 $(u, v)$ ，就知道这一刻的变化率。每个状态点上放置向量 $(F (u, v), G (u, v))$ ，便得到方向场。真正的解轨迹在每一点与这个向量相切。绘图时常把箭头统一缩短，因此箭头朝向可用于读方向，画出的长度未必代表实际速度。Lebl《Notes on Diffy Qs》§3.5

在刚才的系统中， $(F, G) = (v, - u)$ 。点 $(1, 0)$ 上的方向为 $(0, - 1)$ ，所以轨迹先向下；点 $(0, - 1)$ 上的方向为 $(- 1, 0)$ ，所以轨迹向左。只要检查四个象限中的正负号，就能补齐整圈的方向。

把一个分量变化率为零的点连起来，得到零增长线（nullcline）。这个例子中：

$u^{'} = 0$ 对应 $v = 0$ 。这条线上横向分量为零，除原点外，轨迹的切向是竖直的。
$v^{'} = 0$ 对应 $u = 0$ 。这条线上纵向分量为零，除原点外，轨迹的切向是水平的。

两条零增长线相交于 $(0, 0)$ ，此处两个分量都不再变化，是平衡点。零增长线上的其他点通常会移动，因而不能把整条线都当作平衡状态。

平面方向场在横轴上竖直、纵轴上水平，三个同心圆轨迹顺时针围绕原点 — 先看每个箭头的两个分量，再沿着相切方向连接轨迹。金色横轴是 u 的零增长线，粉色纵轴是 v 的零增长线。

有时也把轨迹写成斜率方程。沿解应用链式法则，在 $F (u, v) \neq 0$ 的位置有 $\frac{d v}{d u} = \frac{d v / d t}{d u / d t} = \frac{G (u, v)}{F (u, v)} .$ 本例成为 $d v / d u = - u / v$ 。在 $v = 0, u \neq 0$ 处，分母为零，恰好对应竖直切线；原来的时间方程仍然有意义。还要注意，斜率只确定切线而不区分前进与后退，运动箭头仍须由 $(F, G)$ 决定。

圆为什么不会慢慢缩小

从几张离散截图看见“像圆”的形状，还不足以排除缓慢向内或向外的螺旋。这里可以直接求一个始终不变的量： $\frac{d}{d t} (u^{2} + v^{2}) = 2 u u^{'} + 2 v v^{'} = 2 u v + 2 v (- u) = 0.$ 所以每条解上的 $u^{2} + v^{2}$ 等于初值 $u (0)^{2} + v (0)^{2}$ 。非零初值对应半径固定的圆，原点初值对应不动的点。距离原点原来有多远，以后就有多远。

这也解释两个稳定性词语的区别：原点是稳定的，因为足够小的初始距离永远保持很小；它不是渐近稳定的，因为任何非零初始距离都不会趋于零。本例的原点称为中心。相邻圆都是周期轨道，没有哪一条圆单独吸引旁边的轨迹，因此这些圆也不是孤立的极限环。平衡点与稳定性给出了“始终接近”和“最后靠近”的定量定义。

改变时间尺度还能说明相图省略了什么。把方程改为 $u^{'} = 2 v, v^{'} = - 2 u$ ，仍然得到同样的顺时针圆；但一个周期从 $2 π$ 变成 $π$ 。只有轨迹的形状与箭头方向，并不能读出走完一圈用了多久。

三种不同的靠近或远离方式

把原方程的变化机制改一下，相图就会不同。下面每个例子都能显式求解，因此可以用公式检验图形。

结点：两个分量分别衰减

考虑 $u^{'} = - u, v^{'} = - 2 v$ 。记初值为 $u_{0} = u (0), v_{0} = v (0)$ 。由一阶线性微分方程的解法， $u (t) = u_{0} e^{- t}, v (t) = v_{0} e^{- 2 t} .$ 两个分量都趋于零，纵向分量衰减更快。若 $u_{0} \neq 0$ ，消去时间：由 $e^{- t} = u / u_{0}$ 得 $v = \frac{v_{0}}{u_{0}^{2}} u^{2} .$ 轨迹沿相应抛物线的一支进入原点， $u$ 的符号不变；若 $u_{0} = 0$ ，则沿纵轴进入。这个原点是渐近稳定的结点。注意公式描述的是给定初值所在的那一支，不是说一条解会在两支之间跳转。

鞍点：一个方向靠近，另一个方向离开

考虑 $u^{'} = u, v^{'} = - v$ 。解为 $u (t) = u_{0} e^{t}, v (t) = v_{0} e^{- t} .$ 若恰好 $u_{0} = 0$ ，轨迹沿纵轴趋于原点；但只要 $u_{0} \neq 0$ ，横向距离最终就会增大。乘积 $u v = u_{0} v_{0}$ 保持不变，其他轨迹沿双曲线运动。即使一部分初值会靠近原点，也无法保证所有足够小的扰动都保持接近，所以鞍点不稳定。

焦点：一边旋转，一边衰减

再考虑 $u^{'} = - u + v, v^{'} = - u - v .$ 直接代回方程可检验 $u = e^{- t} (u_{0} \cos t + v_{0} \sin t), v = e^{- t} (v_{0} \cos t - u_{0} \sin t) .$ 括号中的旋转与开篇相同，外面的 $e^{- t}$ 则使距离缩小。更直接地， $\frac{d}{d t} (u^{2} + v^{2}) = - 2 (u^{2} + v^{2}),$ 于是距离等于初始距离乘 $e^{- t}$ 。轨迹顺时针螺旋进入原点；这种渐近稳定的平衡点称为稳定焦点。

三个上下排列的相图依次显示结点曲线进入原点、鞍点沿一个轴进入另一个轴离开、焦点螺旋进入原点 — 图中的箭头均表示时间增加。是否旋转、是否靠近，以及是否所有邻近方向都靠近，要分别判断。

这些例子只展示最基本的三种形态，并不是二维系统全部情况的清单。一般非线性系统在平衡点附近，常先用线性化与雅可比矩阵提取主要变化；若线性化出现零实部特征值，高阶项可能决定结果，不能单凭一张线性相图下结论。

轨迹会不会交叉

设 $F, G$ 在所考察开区域中连续，并对状态局部满足 Lipschitz 条件；连续可微是一个常用的充分条件。这时经过给定状态的局部解唯一。假如两条自治系统轨迹在某点相交，把两条解的时间都平移到到达该点的时刻，它们就有相同的方程和相同的初值，之后与之前的局部轨迹必须重合。因此不同轨道不能像两条道路那样在同一点分岔。

周期解回到原点位并不违反唯一性：返回后会重复原来的运动，它始终是同一条轨道。另一个容易混淆的情况是：两条 $u (t)$ 时间曲线可以相交，因为那一刻的 $v$ 可能不同，完整状态并未相同。

对于显式含时间的系统 $u^{'} = F (t, u, v), v^{'} = G (t, u, v)$ ，不同时刻处于同一个 $(u, v)$ 时，外部作用可能不同，投影到二维平面的轨迹就可能交叉。要恢复自治描述，可以把时间也作为状态，增加 $t^{'} = 1$ ，但状态空间随之成为三维。

学习弹簧振子模型时，可把位移和速度当作两个坐标；学习捕食者-猎物模型时，则把两种种群数量当作坐标。坐标的物理意义不同，读相图的方法相同：先找状态与方向，再找不变量或稳定性依据，最后用时间曲线补足运动快慢。

参考资料

Jiří Lebl，Notes on Diffy Qs，§3.5：Two-dimensional systems and their vector fields，相轨迹、向量场和自治系统。
Jiří Lebl，Notes on Diffy Qs，§8.1–8.2，线性化、平衡点和稳定性分类。
Stefano Allesina，Theoretical Community Ecology，Lecture 2，§2.1–2.2，零增长线及局部稳定性分析。