分岔

分岔（bifurcation）是动力系统随参数变化而发生的定性结构改变，例如两个平衡点相遇并消失，或者静止状态附近出现周期运动。研究分岔时，需要同时追踪参数、平衡或轨道，以及它们的稳定性。

采收量增加一点，为什么会失去长期平衡

考虑经过无量纲化的增长与固定采收模型 $$\frac{dx}{dt}=x(1-x)-h,h\ge 0.$$ 这里 $x$ 是数量与承载量的比值，$t$ 已按增长时间尺度归一化，$h$ 是无量纲采收强度。模型只在数量非负且仍能按所设速率采收的阶段使用。

先找平衡：$x(1-x)=h$。配方比套公式更直接： $$x(1-x)-h=(\frac{1}{4}-h)-{(x-\frac{1}{2})}^2.$$ 若 $0<h<1/4$，有 $$x_{\pm }=\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}-h}.$$ 例如 $h=0.16$ 时，平衡为0.2和0.8。位于两者之间，右端为正，数量增加；高于0.8，右端为负，数量回落；低于0.2，数量继续下降。因此0.8吸引附近状态，0.2把两侧状态推开。

随着 $h$ 接近0.25，两个平衡相互靠近，在 $x=0.5$ 相遇。再增加采收，方程右端处处为负，原来的正平衡不再存在。这就是一个鞍结分岔。

横轴是模型参数，不是时间。每个参数对应一套不同的动力规律。

临界平衡并不等于普通稳定平衡

临界 $h=1/4$ 时令 $y=x-1/2$，得到 $y^{\prime }=-y^2$。对非零初值分离变量： $$\frac{dy}{y^2}=-dt⟹y(t)=\frac{y_0}{1+y_{0}t}.$$ 若 $y_0>0$，解从上方趋向0；若 $y_0<0$，解向下远离0。在数量模型到达零时，固定采收假设便需要终止或修改。这种一侧吸引、一侧排斥的平衡，不能按双侧扰动的通常定义称为稳定。

离临界点很近时，恢复也会变慢。上分支的线性衰减率为 $$f^{\prime }(x_{+})=1-2x_{+}=-2\sqrt{1/4-h}.$$ 例如 $h=0.16$ 时为 $-0.6$，而 $h=0.24$ 时只有 $-0.2$。足够小的扰动，其局部恢复时间尺度分别约为 $1/0.6$ 和 $1/0.2$。这里描述的是该模型接近临界点时的局部行为，单凭恢复慢不能断言现实系统即将崩溃。

把具体例子提炼成鞍结的局部结构

令 $\mu =1/4-h$，前面的方程变为 $$y^{\prime }=\mu -y^2.$$ 这是一维鞍结的常用标准形式。$\mu >0$ 时有两个平衡，$\mu =0$ 时合并，$\mu <0$ 时没有平衡。

一般的光滑标量方程 $y^{\prime }=f(y,\mu )$ 若在临界点满足 $f=0$、$f_y=0$，还要检查 $f_{\mu }\ne 0$ 与 $f_{yy}\ne 0$。后两项保证参数确实推动变化、二次项没有退化。只发现导数为零，并不足以认定鞍结。局部泰勒展开解释了这些条件如何产生“参数项加二次项”的结构，参见 MIT，Flows and Bifurcations in One Dimension。

两条平衡分支交换稳定性

考虑 $$x^{\prime }=\mu x-x^2=x(\mu -x).$$ 平衡为 $x=0$ 与 $x=\mu$。右端对 $x$ 的导数为 $\mu -2x$：在零分支上是 $\mu$，在另一分支上是 $-\mu$。所以 $\mu$ 穿过0时，两条分支交换稳定性。这称为跨临界分岔。

若 $x$ 表示种群数量，$x=\mu <0$ 的数学分支没有相应生物学含义。画出完整代数分支有助于分析，解释时还要限制状态范围。

跨临界分岔保留两条分支，改变的是它们的稳定性。

对称系统为什么会分出两个方向

再看 $$x^{\prime }=\mu x-x^3=x(\mu -x^2).$$ 方程在变换 $x\mapsto -x$ 下保持对称。$\mu <0$ 时只有稳定平衡0；$\mu >0$ 时，0变为不稳定，并出现 $x=\pm \sqrt{\mu }$。在两个新平衡处，导数为 $\mu -3x^2=-2\mu <0$，故都渐近稳定。这是超临界叉形分岔。

在临界点 $\mu =0$，$x^{\prime }=-x^3$ 的解为 $$x(t)=\frac{x_0}{\sqrt{1+2x_0^{2}t}}.$$ 它仍趋向0，但按代数速度而非指数速度。线性化此时只有零特征值，正确结论来自保留的三次项。

对称性允许两个同等地位的方向；轻微打破对称后，分岔图也可能改变。

从静止状态出现一圈振荡

二维系统还可能产生周期轨道。下面的例子可以完整算出： $$\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =\mu x-y-(x^2+y^2)x,\\ y^{\prime }& =x+\mu y-(x^2+y^2)y.\end{array}$$ 对 $r=\sqrt{x^2+y^2}>0$，用 $r{r}^{\prime }=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$ 以及 ${\theta }^{\prime }=(x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime })/r^2$，相加消去交叉项，得到 $$r^{\prime }=\mu r-r^3,{\theta }^{\prime }=1.$$ 半径服从刚才的增长抑制规律，角度匀速转动。$\mu <0$ 时半径衰减到0；$\mu >0$ 时任意正半径趋向 $\sqrt{\mu }$，轨迹接近周期为 $2\pi$ 的圆。这个圆是孤立并吸引附近轨迹的极限环，与经典捕食者-猎物模型的一整族守恒闭轨道不同。

在这个可解模型中，周期轨道的存在和吸引性由半径方程证明。

原点的雅可比矩阵有特征值 $\mu \pm i$。它们随参数穿过虚轴，同时产生小振幅周期轨道，展示了超临界 Hopf 分岔。对一般系统，除了特征值的横截穿越，还要检查非线性非退化条件；只看到纯虚特征值，不能保证存在极限环。例如删掉三次项后，$\mu =0$ 是一族中性圆轨道，$\mu >0$ 则持续向外旋转。

怎样读一张分岔图

先认清横轴是哪个参数，纵轴是平衡位置、周期轨道振幅，还是迭代的长期采样值。实线与虚线常用于区分稳定和不稳定，但必须以图例为准。一个参数下的竖直截线给出该参数对应的对象，不是同一条解从下往上运动。

连续方程的一维自治系统在唯一性条件下没有非平衡周期轨道；洛吉斯蒂映射却是离散迭代，可以有二周期及倍周期分岔。两个图都叫分岔图，它们的状态演化规则和稳定判据仍然不同。

实际分析可以按这个顺序进行：写出参数范围与状态范围，求平衡分支，计算局部稳定性，检查临界点的高阶项，再画代表参数下的轨迹。数值图用于比较与寻找问题，分支是否存在、是否稳定，仍要用相应论证支持。

来源与继续阅读

• D. H. Rothman，MIT，Flows and Bifurcations in One Dimension：一维流、鞍结、跨临界与叉形分岔。
• MIT，Classical Mechanics III，Chapter 7：非线性动力系统、平衡分岔及 Hopf 分岔。
• 先修：平衡点与稳定性、相平面、线性化与雅可比矩阵；相关：洛吉斯蒂模型、洛吉斯蒂映射、时滞微分方程。