供需模型

供需模型（supply and demand model）用两套数量计划描述一个市场：买方在各个价格下愿意购买多少，卖方在同样的价格下愿意出售多少。两套计划相容的价格与数量构成市场均衡。模型首先是一组带有条件的关系式；求出交点之后，还要说明它对应什么交易、哪些条件保持不变。

一天的印刷订单怎样相互配合

设一个小型市场交易同规格的印刷资料包。以下数字都是用于计算的合成数据。以一天为观察期，令 $p$ 表示每份价格的数值，单位元/份； $q$ 表示每天成交数量的数值，单位份/日。先把数量看作可连续变化的近似，稍后再处理整份订单。

固定资料包规格、买方收入与人数、纸张价格和生产技术，假设需求量为 $q_{D} (p) = 50 - \frac{p}{2}, 0 \leq p \leq 100.$ 例如价格40元时，需求计划为30份；价格60元时，需求计划为20份。这里说的是不同价格下的购买计划，不能把两行加成“一天购买50份”。价格超过100元时，本例将需求设为零，而不是把直线延伸成负数量。

供给计划取为 $q_{S} (p) = max {p - 10, 0}, p \geq 0.$ 价格40元时，卖方愿意供给30份；价格60元时，愿意供给50份。10元以下的零供给部分表示在本模型中，价格不足以覆盖开始增加产量所需的成本。上升的供给关系也有适用规模，不能推断无限高价格能使设备无限生产。

价格（元/份）	需求量（份/日）	供给量（份/日）	两者差额
30	35	20	需求比供给多15
40	30	30	相等
50	25	40	供给比需求多15

“需求”是整套价格与数量的关系，“需求量”是在某个价格下读取的一个数。供给与供给量也如此区分。这一区分是理解曲线移动的基础，参见 OpenStax《Principles of Microeconomics 3e》§3.1。

交点的两个坐标各说了什么

均衡要求同一个价格下的两种计划一致。因候选价格高于10元，可以在正供给分支上解 $50 - \frac{p}{2} = p - 10 ⟹ 60 = \frac{3}{2} p ⟹ p_{*} = 40.$ 代回任一关系，得到 $q_{*} = 30$ 。代回另一条关系是检查，不是多余步骤：两边必须都给出30，才是两套计划同时满足。

经济学常把数量放在横轴、价格放在纵轴。为按这种坐标画图，将上述关系改写为逆需求与逆供给： $p_{D} (q) = 100 - 2 q, p_{S} (q) = 10 + q .$ 同样的均衡现在由 $100 - 2 q = 10 + q$ 求出。图中的交点应读作 $(q, p) = (30, 40)$ ，不能调换成“价格30、数量40”。沿交点的两条辅助线，分别回到数量轴的30和价格轴的40。

下降的逆需求p等于100减2q与上升的逆供给p等于10加q相交于数量30价格40，辅助线连接两个坐标轴。 — 同一交点同时满足买方与卖方的数量计划。

对一般线性关系 $p_{D} = a - b q$ 、 $p_{S} = c + d q$ ，若 $b, d > 0$ 且 $a > c$ ，相减得 $q_{*} = \frac{a - c}{b + d}, p_{*} = \frac{a d + b c}{b + d} .$ 这些式子只描述两条直线的正数量交点；还须核对价格、容量和所拟合区间。若 $a < c$ ，代数交点给负数量，实际非负市场没有这种正交易均衡，应转而分析零交易边界。分母中的 $b + d$ 则说明两条曲线的斜率共同决定交点。

价格偏离交点时，不能只读一条曲线

在价格30元下，沿同一条水平线分别读取供给20和需求35，相差15份。这是超额需求，表示两套计划不相容。假设没有库存补充、没有强制交易，且愿意交易的买卖双方能够匹配，成交量最多20；不能把35直接当作实际销量。

价格30的水平线在供给曲线上读出20，在需求曲线上读出35，两条竖线之间用箭头标出计划缺口15份。 — 供需缺口比较的是计划数量，实际成交还取决于库存与分配规则。

在价格50元下，供给40而需求25，出现15份的超额供给。这里的“供给过剩”是数量计划的差额，和生产者剩余这个货币面积概念不同。

静态方程没有时间变量，因此它本身并未证明价格会自动或迅速回到40。若另加一个调整假设：价格的变化率正比于超额需求，写为 $\frac{d p}{d t} = k [q_{D} (p) - q_{S} (p)], k > 0,$ 则在正供给区间内右端等于 $k (60 - 1.5 p)$ 。令偏差 $e = p - 40$ ，得到 $e^{'} = - 1.5 k e$ ，才可以在这套额外规则下证明附近价格趋向40。 $k$ 的单位须使左右同为价格每单位时间。延迟报价、库存和交易制度若改变更新规则，稳定性也会改变，详见平衡点与稳定性。

沿曲线移动，还是整条曲线改变

从价格40提高到50，若其他条件不变，需求量从30减到25，这是沿原需求曲线移动。买方人数增加则可能改变同一价格下的需求量，属于关系本身变化。

先只改变纸张成本，使每一数量对应的最低供给价格提高15元，写成 $p_{S, 1} (q) = 25 + q .$ 原需求仍为 $100 - 2 q$ 。新交点满足 $100 - 2 q = 25 + q$ ，故 $q_{1} = 25, p_{1} = 50$ 。图中供给线整体上移，而交点从原需求线上的 $(30, 40)$ 移到同一需求线上的 $(25, 50)$ 。这个例子同时包含“供给关系移动”和“沿需求关系移动”。

需求线保持不变，供给从10加q整体上移到25加q，均衡从30份40元移到25份50元。 — 比较新旧交点时，先指出哪一条关系改变、哪一条关系保持不变。

若改为需求意愿上升15元，保持原供给，则 $p_{D, 1} = 115 - 2 q$ 与 $p_{S} = 10 + q$ 给出 $q_{1} = 35, p_{1} = 45$ 。若需求和供给同时移动，不能只背“涨价”或“减量”：一般变动满足 $Δ q_{*} = \frac{Δ a - Δ c}{b + d}, Δ p_{*} = \frac{d Δ a + b Δ c}{b + d} .$ 其中斜率保持不变。两种变化对数量可能抵消，对价格也可能抵消；实际方向由数值和机制决定。

从模型回到订单记录

一份资料包不能分成0.3份。平滑曲线可以描述较大市场的近似或多日平均计划，最终排产仍需看整数需求与产能。本例均衡30恰好是整数；若计算得到30.4，不能把均衡定义改为简单四舍五入。需要明确第31份的购买意愿、供货成本，以及是否允许不同日采用不同数量。成本收益与利润给出用相邻整数的利润差作选择的方法。

还应区分“观测到价格和销量同时上升”与“需求曲线向上倾斜”。每日看到的通常是不同条件下的成交点；买方人数、成本或旺季变化都可能让曲线移动。一串成交点不自动识别出一条需求曲线，需要额外的识别假设和资料。曲线的斜率涉及单位，价格变化的相对响应由需求价格弹性描述；交易带来的面积如何解释，见消费者剩余与生产者剩余。

参考资料

OpenStax，David Shapiro、Daniel MacDonald、Steven A. Greenlaw，Principles of Microeconomics 3e，§3.1：需求、供给、价格与数量均衡的基本定义。
MIT 14.01，2023 年讲义摘要，第9讲：改变供需曲线的条件与市场数量的比较。
相关数学：函数、线性代数、数学建模、平衡点与稳定性。