偏导数

偏导数（partial derivative）度量多元函数在一个输入改变、其余输入保持不变时的瞬时变化率。同一个输出可能受多个因素影响；偏导数首先把这些影响分开，再为它们同时变化时的近似计算提供依据。

一种产出，两种投入

设一个生产批次投入 $L$ 小时人工和 $M$ 小时机器使用，产出件数的教学模型为 $$Q(L,M)=8\sqrt{LM},L>0,M>0.$$ 这里 $L,M$ 表示各自小时数的数值，$Q$ 表示件数的数值；系数 8 已包含所选计量单位，不能更换单位后仍原样沿用。连续模型允许非整数产出，用来近似一个批次的产出规模。此函数和下面的参数均为合成教学设定。

在 $(L,M)=(4,9)$，产出为 $8\sqrt{36}=48$ 件。如果只增加人工、机器投入保持 9 h，函数变为一元函数 $$Q(L,9)=24\sqrt{L}.$$ 它在 $L=4$ 的导数为 $12/\sqrt{4}=6$。因此，在这一投入组合附近，每增加很少的人工时间，产出约按 6 件/人工小时的速率增加。

若固定人工为 4 h，只改变机器时间，则 $$Q(4,M)=16\sqrt{M},\frac{d}{dM}Q(4,M){|}_{M=9}=\frac{8}{\sqrt{9}}=\frac{8}{3}.$$ 这一变化率的单位是件/机器小时。两个分母代表不同投入；数值 6 大于 $8/3$，并不能直接推出应当增加哪种投入，还要结合各自价格、可用量及其他约束。

每张图中只有横轴所示的一个投入在变化；虚线是共同基点处的切线。

这两条截线来自同一个曲面 $z=Q(L,M)$。偏导数描述的是沿坐标方向截出的曲线的斜率，而不是从曲面上任意方向走过去的变化率。

把“保持另一个量不变”写进极限

设函数 $f(x,y)$ 定义在点 $(a,b)$ 的某个开邻域中。关于 $x$ 的偏导数定义为 $$f_x(a,b)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h},$$ 前提是这个有限极限存在。每一个差商中的第二个坐标都等于 $b$。相应地， $$f_y(a,b)=\underset{k\to 0}{lim}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}.$$ 符号 $\partial f/\partial x$ 与 $f_x$ 表达相同意思。符号 $\partial$ 用来提示这是多输入函数中的一个方向；具体含义仍由差商规定。OpenStax《Calculus Volume 3》§4.3

在产出例子中，把机器输入视为常数，可直接按一元求导法则算出 $$Q_L(L,M)=4\sqrt{\frac{M}{L}},Q_M(L,M)=4\sqrt{\frac{L}{M}}.$$ 这里要求 $L,M>0$。虽然原式可以连续延伸到坐标轴，例如 $Q(0,M)=0$，但在 $M>0$、$L=0$ 处，向右的差商是 $8\sqrt{M}/\sqrt{h}$，会趋于正无穷。边界上既没有所写的双侧偏导定义，也没有有限的这一侧斜率。

再用差商核验人工方向的结果。在基点 $(4,9)$， $$\frac{Q(4+h,9)-48}{h}=24\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}=\frac{24}{\sqrt{4+h}+2}⟶6.$$ 第二个等号通过乘以共轭式得到，直接显示平均变化率怎样趋近瞬时变化率。

两种投入同时改变时，为什么可以相加

现在把人工从 4 h 改为 4.2 h，机器时间从 9 h 改为 8.7 h。两个小改变量分别是 $h=0.2$、$k=-0.3$。用基点处的偏导数，预测产出改变量为 $$\Delta Q\approx Q_L(4,9)h+Q_M(4,9)k=6(0.2)+\frac{8}{3}(-0.3)=\mathrm{0.4.}$$ 于是线性近似给出 48.4 件。直接代回原函数，得到 $8\sqrt{4.2\times 8.7}\approx 48.358660$ 件，实际增加约 0.358660 件。线性近似与精确值相差约 0.041340 件。

折线路径把总变化分成两段；近似计算把两段的变化率都取在起点。

这个“把两个贡献相加”的规则，需要函数在该点可微。设 $\rho =\sqrt{h^2+k^2}$ 表示输入改变量的长度。如果存在常数 $A,B$，使 $$f(a+h,b+k)-f(a,b)=Ah+Bk+R(h,k),\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}⟶0,$$ 就称函数在 $(a,b)$ 可微。余项条件要求在所有接近方向上，误差都比输入改变量的一次量级更小。令 $k=0$ 和 $h=0$，分别可得 $A=f_x(a,b)$、$B=f_y(a,b)$。于是线性近似的系数必须是两个偏导数。

一个常用充分条件是：两个一阶偏导数在该点附近存在，并且在该点连续。其理由可以看成图中的折线路径。先写恒等分解 $$f(a+h,b+k)-f(a,b)=[f(a+h,b)-f(a,b)]+[f(a+h,b+k)-f(a+h,b)].$$ 分别对水平和竖直的一元函数使用中值定理，第一项为 $f_x(a+\theta h,b)h$，第二项为 $f_y(a+h,b+\eta k)k$，其中 $0<\theta ,\eta <1$。减去 $f_x(a,b)h+f_y(a,b)k$ 后，两项剩余系数都因偏导连续而趋于零；又有 $|h|,|k|\le \rho$，所以余项除以 $\rho$ 后趋于零。这就得到可微性。OpenStax，§4.4

对于产出函数，在正象限内两个偏导均连续，因此上述近似有依据。线性函数 $$z=48+6(L-4)+\frac{8}{3}(M-9)$$ 的图像就是基点处的切平面；它总结了所有小改变量的一阶影响。

原函数连续且偏导都存在，仍可能不可微

考虑定义在整个平面上的函数 $$g(x,y)=\{\begin{array}{cc}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}$$ 沿两条坐标轴都有 $g(x,0)=g(0,y)=0$，所以 $g_x(0,0)=g_y(0,0)=0$。原函数在原点还连续：由 $2|xy|\le x^2+y^2$，可得 $$|g(x,y)|\le \frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}⟶0.$$ 但若它可微，线性部分只能是零，因此必须满足 $g(h,k)/\sqrt{h^2+k^2}\to 0$。沿对角线取 $h=k=t\ne 0$，却得到 $$g(t,t)=\frac{|t|}{\sqrt{2}},\frac{g(t,t)}{\sqrt{t^2+t^2}}=\frac{1}{2}.$$ 比值没有趋于零，因此函数在原点不可微。两条坐标方向上的信息，没有控制住其他方向。

检验可微性需要覆盖任意小改变量；只检查两条坐标轴会漏掉对角方向。

这里连续的是原函数，而不是原点附近的两个偏导函数。它不满足上一节的充分条件，也就不与该定理矛盾。

二阶偏导描述变化率怎样继续变化

还可对偏导再次求导。在产出模型中， $$Q_{LL}=-\frac{2\sqrt{M}}{L^{3/2}},Q_{MM}=-\frac{2\sqrt{L}}{M^{3/2}},Q_{LM}=Q_{ML}=\frac{2}{\sqrt{LM}}.$$ 规定 $Q_{LM}=\partial (Q_L)/\partial M$，即先关于 $L$ 求导，再关于 $M$ 求导。负的 $Q_{LL}$ 表示：机器投入固定时，随着人工增加，人工的边际产出会下降。正的 $Q_{LM}$ 表示：在这个模型中增加机器投入，会提高人工的边际产出。这些都是给定函数的结论，不是由符号自动证明的现实生产规律。

混合偏导的次序可交换，一个常用充分条件是两个混合偏导在该点的邻域内连续。上面的函数在正象限光滑，因此满足条件。二阶偏导组成的矩阵称为 Hessian 矩阵，在多元函数的极值中用于判断驻点附近是向上弯、向下弯，还是不同方向弯向不同。

如果两个投入本身随时间变化，则复合函数的导数还要包含两条变化路径。在可微条件下，链式法则给出 $$\frac{dQ}{dt}=Q_L\frac{dL}{dt}+Q_M\frac{dM}{dt}.$$ 偏导回答“只动一个输入会怎样”，总导数回答“沿给定投入路径一起变化会怎样”。把保持不变的条件写清楚，是使用这些符号的第一步。

参考资料

• Gilbert Strang、Edwin Herman，Calculus Volume 3，§4.3 Partial Derivatives：偏导定义、截线与混合偏导。
• 同书 §4.4 Tangent Planes and Linear Approximations：可微、线性化及连续偏导的充分条件。
• 同书 §4.5 The Chain Rule：多元链式法则。
• 相关条目：函数、导数、极限、多元函数的极值、线性化与雅可比矩阵。