比与比例

比（ratio）用除法比较两个量；比例（proportion）表示两个比相等。理解它们的关键，是先说清比较的顺序和基准，再计算。蓝色颜料与白色颜料的比，和蓝色颜料占全部颜料的比例，回答的是两个不同的问题。

设一份合成的教学配方要求蓝色与白色颜料的质量比为 $2 : 5$ ，现在要配成 210 克。这里假定只混合这两种颜料，混合过程中质量没有损失。先不用方程：把蓝色看作两份、白色看作五份，而且每一份质量相同。总共七份，一份就是 $210 \div 7 = 30$ 克。因此蓝色需要 60 克，白色需要 150 克。

七个同样大小的份块中两个表示蓝色颜料五个表示白色颜料，每份三十克，分别得到六十克和一百五十克 — 先数清七个等份，再计算每份质量。图中 B 表示蓝色颜料，W 表示白色颜料。

算完后做两次检查： $60 + 150 = 210$ 核对总量， $60 / 150 = 2 / 5$ 核对配方。只满足总量还不够，例如 100 克与 110 克也合计 210 克，却不符合要求的配比。

比较谁与谁

对实数 $a, b$ ，当 $b \neq 0$ 时，比 $a : b$ 的比值是 $a / b$ 。实际的质量配比通常取正数；写在前面的量是被比较的量，后面的量是这次比较的基准。调换顺序一般会改变比值。

在配方中，三个说法应分别写成：

问题	计算	解释
蓝色与白色的比	$60 / 150 = 2 / 5$	每 5 克白色对应 2 克蓝色
蓝色占总质量的比例	$60 / 210 = 2 / 7$	每 7 克成品中有 2 克蓝色
白色占总质量的比例	$150 / 210 = 5 / 7$	两部分占比之和为 1

因此不能看到“2 比 5”，就说蓝色占成品的 40%。 $2 / 5 = 40 %$ 比较的是蓝色与白色；蓝色占成品的是 $2 / 7 \approx 28.57 %$ 。百分比是把同一个比值写成以一百为单位的形式，详见百分比与百分点。

比较同种量时，先统一单位。例如 2 米与 80 厘米应写为 $200 : 80 = 5 : 2$ ，不能直接拿数值 2 与 80 相除。不同种量也可以相除，但通常要保留单位：打印 240 页用 12 分钟，平均速率是 $240 / 12 = 20$ 页/分钟。把这种速率写成没有单位的“20”，就丢掉了它比较的对象。OpenStax：比例中的对象次序与单位

为什么同时乘一个数，比不变

将一个比的两项同时乘非零数 $k$ ，有

$\frac{k a}{k b} = \frac{a}{b}, b \neq 0, k \neq 0.$

原因是分子与分母具有同一个非零因子，可以约去。对于正质量配方，取 $k > 0$ ，表示把每种颜料整体放大或缩小。60 克与 150 克同时翻倍，成为 120 克与 300 克；总量也从 210 克变为 420 克，而比仍为 $2 : 5$ 。

把配方中的蓝色质量记为 $B$ ，白色质量记为 $W$ 。保持配方等价于 $B / W = 2 / 5$ ，即 $B = (2 / 5) W$ 。下表每一行都对应同一种配方：

白色 W（克）	蓝色 B（克）	总质量（克）
50	20	70
150	60	210
250	100	350

以白色质量为横轴蓝色质量为纵轴，（50,20）、（150,60）、（250,100）三个点在同一条过原点的直线上 — 表中的每一行成为一个点。直线斜率为2/5；原点表示零总量的边界位置，在原点不能用0/0定义配比。

这正是正比例中的一种关系。配比给出直线，是因为这里已经把“始终保持同一配方”作为条件；不是因为只测得三个点在一条线上，就证明任意实际混合过程都遵守此式。

从两份与五份，推出任意总量的分配

设总质量为 $M > 0$ 。由于蓝白两部分分别有两份、五份，设每份质量为 $u$ ，则

$B = 2 u, W = 5 u, M = B + W = 7 u .$

先由总量求一份： $u = M / 7$ 。再把每份质量乘份数，得到

$B = \frac{2}{7} M, W = \frac{5}{7} M .$

例如只知道白色已有 175 克，也可以直接用比求蓝色： $B / 175 = 2 / 5$ ，所以 $B = 70$ 克，总质量为 245 克。这里的 175 是白色质量，不是总量，分母的含义决定用哪个式子。

更一般地，正数配比 $a : b$ 对应总量 $M > 0$ 时，两部分为

$\frac{a}{a + b} M 和 \frac{b}{a + b} M .$

如果配方有三种成分 $a : b : c$ ，同样先合计份数 $a + b + c$ 。重要的是这些份数采用同一种计量口径，不能一项是质量、一项是体积，却直接相加为“总份数”。

交叉相乘的根据

比例常写成 $a / b = c / d$ 。当 $b, d \neq 0$ 时，在等式两边同乘 $b d$ ，得到

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ⟺ a d = b c .$

向右是乘以同一个非零数，向左是除以该数，所以两式等价。对于 $B / 175 = 2 / 5$ ，它给出 $5 B = 350$ ，再除以 5 得到 70。交叉相乘是一种去分母的等价变形，不是脱离等式结构的运算口诀。OpenStax：比与比例

例如 $B / 175 = 2 / 5 + 1$ 的右边还含加法，先合并为 $7 / 5$ ，或把两边的每一项都乘以分母；不能只交叉乘第一项而丢掉加一的部分。

改变条件后，配比还保持吗

回到 60 克蓝色、150 克白色。若只加 30 克白色，新比为 $60 : 180 = 1 : 3$ 。新增的是一个成分，不是整份配方，因而比发生改变。

三个按相同克数比例绘制的条带分别是原配方六十加一百五十、同时翻倍一百二十加三百、只增加三十克白色后成为六十加一百八十 — 同比缩放保持各部分相对份额；只给白色加量时，蓝色占总量的份额变小。条带总长也保留总质量的变化。

自己算一步：现有 350 克符合 $2 : 5$ 的成品。如果只加入 70 克白色，新的蓝白比是多少？先分别求出两种颜料的原质量，再更新发生变化的一项。

解答：原蓝色为 $350 \times 2 / 7 = 100$ 克，白色为 250 克。加料后白色为 320 克，故比为 $100 : 320 = 5 : 16$ ，总质量为 420 克。虽然总量恰好与“原 210 克配方整体翻倍”相同，组成却不同；只检查总量会错过这一点。

比例也把几何图中的对应长度连起来，但长度、面积和体积的放大倍数不同，见相似与比例尺与幂函数与尺度律。

参考资料

OpenStax，Prealgebra 2e，§6.5：Solve Proportions and their Applications。
OpenStax，Contemporary Mathematics，§5.4：Ratios and Proportions。
Daniel L. Timmons、Catherine W. Johnson、Sonya M. McCook，Fundamentals of Algebraic Modeling: An Introduction to Mathematical Modeling with Algebra and Statistics，第 5 版，Brooks/Cole，2010，§1-5。作为知识与学习方法参考。