百分比与百分点

百分比（percentage）把一个比值写成以一百为单位的形式，例如 $20 % = 20 / 100 = 0.20$ ；百分点（percentage point）用于表达两个百分比的直接差值。百分比变化还可以相对于原来的数值计算，这时得到的是相对变化率，二者的基准不同。

设两场教学用的模拟活动各有 100 次有效预约，第一场有 20 次实际到场，第二场有 30 次。到场率从 20% 变成 30%。到场率增加了多少？这个问题可以有两个明确答案：增加 10 个百分点；相对于原到场率，增加 50%。先把它们各自比较的量找出来。

两张一百格的方格图分别标出二十格和三十格到场，第二张新增十格用另一种颜色并标加号；十格占全体一百格的十分之一，却占原二十格的一半 — 每个小格对应一次有效预约。新增的10格以全部100格为基准是10个百分点，以原20格为基准则是50%的相对增加。

先找谁是百分之百

若基准量为 $N > 0$ ，所比较的量为 $A$ ，比值 $p = A / N$ 可以写为 $100 p %$ 。例如第一场

$p = \frac{20}{100} = 0.20 = 20 % .$

这里 100% 对应全部 100 次预约，不是到场的 20 次。如果问“新增的 10 次到场是原到场数量的多少”，基准就换成了 20 次，计算变成 $10 / 20 = 50 %$ 。

对于“部分占整体”的比例，通常有 $0 \leq A \leq N$ ，所以结果在 0% 与 100% 之间。百分比本身并不限于这个区间：本期数量是基准数量的 150%，表示它是基准的 1.5 倍；负百分比也可以表达有符号的变化率。必须先确定所说的是份额、倍数，还是增减。OpenStax：百分比中的基准量与增减

读者也可以反过来求基准。若某场有 42 次到场，占有效预约的 35%，则 $42 = 0.35 N$ 。两边除以 0.35，得 $N = 120$ 。回代 $42 / 120 = 35 %$ ，就检查了原题的条件。百分号进入运算前，应先变成相应的小数或分数。

10 个百分点为什么也是相对增加 50%

记原到场率为 $p = 0.20$ ，新到场率为 $q = 0.30$ 。直接做差：

$q - p = 0.30 - 0.20 = 0.10.$

这个差在比例数值上是 0.10，在百分数刻度上就是 10 个百分点。英国国家统计局的术语说明同样把百分点用于百分比之间的差值。ONS：Percentages and percentage points

若再问“这一差额相当于原值的几倍”，则要除以原值：

$\frac{q - p}{p} = \frac{0.10}{0.20} = 0.50 = 50 % .$

一般地，原比例 $p > 0$ 变为 $q$ 时，百分点变化的数值是 $100 (q - p)$ ，相对变化率则是 $(q - p) / p$ 。如果原值为零，后一个表达式没有定义；不能把“从零到一个正数”写成普通的有限百分比增幅。此时可报告百分点变化或实际数量变化。

变化	百分点变化	相对原值的变化率
20% → 30%	增加 10 个百分点	$(30 - 20) / 20 = 50 %$
30% → 20%	减少 10 个百分点	$(20 - 30) / 30 = - 1 / 3 \approx - 33.33 %$
40% → 44%	增加 4 个百分点	$(44 - 40) / 40 = 10 %$

注意前两行：往返的百分点变化绝对值相同，相对增减却不同，因为往返时采用的原值不同。

连续增减怎样合并

用一次数量变化看清基准的移动。设一个教学库存开始有 240 册书，先增加 25%，再减少 25%。第一次增加量是 $240 \times 0.25 = 60$ 册，得到 300 册。第二次的 25% 按当前的 300 册计算，减少 75 册，最终剩 225 册。

三根等宽条表示二百四十、三百、二百二十五册，第一次百分之二十五增加六十册，第二次百分之二十五减少七十五册 — 百分数相同，但每次乘的基准量不同。两次操作后的净变化是减少15册，即相对最初数量减少6.25%。

把“增加原值的 $r$ 倍”写成 $x + r x = (1 + r) x$ ，两次变化就连成

$x_{1} = (1 + r) x_{0}, x_{2} = (1 + s) x_{1} = (1 + s) (1 + r) x_{0} .$

在初值 $x_{0} > 0$ 下，总相对变化率为

$\frac{x_{2} - x_{0}}{x_{0}} = (1 + r) (1 + s) - 1 = r + s + r s .$

本例 $r = 0.25$ 、 $s = - 0.25$ ，因此总因子为 $1.25 \times 0.75 = 0.9375$ ，相对减少 6.25%。保持非负数量通常要求每一步的因子非负；如果中途数量降到零，下一步相对于零的实际增幅就需要另行说明。

想让第一次的 25% 增长完全抵消，应解 $1.25 (1 + s) = 1$ ，得到 $s = - 0.20$ ，即随后减少 20%。一般地，对 $r > - 1$ ，抵消变化所需的下一步变化率为 $- r / (1 + r)$ 。多期金额的相同乘法结构见复利与贴现。

两个百分比怎样合并成总体比例

再看两场规模不同的模拟活动：甲场有 50 次预约，其中到场 20 次；乙场有 150 次预约，其中到场 30 次。假设每条预约恰属于一场，没有重复计数，总到场率应先合计同一口径下的记录数：

$\frac{20 + 30}{50 + 150} = \frac{50}{200} = 25 % .$

把 40% 与 20% 直接平均，得到 30%，并不是这 200 次预约的总体到场率。两场各占一半的平均方法，相当于让每场拥有相同权重；这里每场预约数并不相同。

甲场五十次预约中二十次到场，乙场一百五十次预约中三十次到场，两条按预约总数绘制的条带与合计二百次中五十次到场的条带对应 — 横向长度表示预约记录数，填色部分表示到场。乙场预约数是甲场的三倍，在总体比例中也占三倍权重。

若两组总数分别为 $n_{1}, n_{2} > 0$ ，组内比例为 $p_{1}, p_{2}$ ，那么到场数量分别是 $n_{1} p_{1}$ 、 $n_{2} p_{2}$ 。相加并除以总数，得到

$p_{a l l} = \frac{n_{1} p_{1} + n_{2} p_{2}}{n_{1} + n_{2}} = \frac{n_{1}}{n_{1} + n_{2}} p_{1} + \frac{n_{2}}{n_{1} + n_{2}} p_{2} .$

这是按组规模加权的平均。因为两个权重非负且和为一，总体比例位于两组比例之间；本例的 25% 就处于 20% 与 40% 之间。若统计对象、时间范围或“到场”的定义不同，要先统一口径，不能仅凭两个百分数相加。

换一种提问，检查基准是否找对

问题一：一场活动的到场率为 24%，希望提高 6 个百分点，目标到场率是多少？相对于原到场率增加了多少？如果要求只是相对提高 6%，结果又是多少？

解答：提高 6 个百分点得到 30%；相对增加为 $(30 - 24) / 24 = 25 %$ 。相对提高 6% 则应计算 $24 % \times 1.06 = 25.44 %$ ，仅增加 1.44 个百分点。三个数字不同，正好说明“提高多少”需要明确比较方法。

问题二：两组到场率仍为 40% 与 20%，但现在各有 100 次预约。总体到场率是多少？

解答：两组到场数为 40 和 20，合计 $60 / 200 = 30 %$ 。这一次普通平均恰好正确，因为两组规模相同。决定平均方法的是所求对象与权重，不是百分数看起来是否容易相加。

把比例在图中正确表达，可继续读扇形统计图与条形图；研究变量之间的相对变化，可读需求价格弹性。

参考资料

OpenStax，Prealgebra 2e，§6.2：Solve General Applications of Percent。
Office for National Statistics：Percentages and percentage points。
OpenStax，Contemporary Mathematics，§8.2：Visualizing Data，比例与百分比图形的对应。
Daniel L. Timmons、Catherine W. Johnson、Sonya M. McCook，Fundamentals of Algebraic Modeling: An Introduction to Mathematical Modeling with Algebra and Statistics，第 5 版，Brooks/Cole，2010，§1-6。作为知识与学习方法参考。