上鞅

上鞅（supermartingale）是给定当前信息后，下一步条件期望不大于当前值的随机过程。它可用来描述带有损耗的公平系统，也可作为控制逐次试验错误概率的数学工具。名称中的“上”不表示数值向上增长：不等号方向恰为条件平均不增长。

定义及与鞅的关系

设 $({ℱ}_n)$ 是滤过。实值适应过程 $M_n$ 若满足 $𝔼|M_n|<\mathrm{\infty }$，且每个 $n$ 都有 $$𝔼[M_{n+1}\mid {ℱ}_n]\le M_n\text{几乎必然},$$ 则称为上鞅。由塔式法则，任意 $m<n$ 都有 $𝔼[M_n\mid {ℱ}_m]\le M_m$。若等号成立则也是鞅；$-M_n$ 是次鞅。定义本身不要求非负，后面的跨阈值概率界则要额外要求非负。

带比例损耗的乘法过程

令 ${\xi }_i$ 独立等概率取 $1,-1$，并令 $$M_0=1,M_n=\prod _{i=1}^{n}0.9(1+0.5{\xi }_i).$$ 每次可能乘以 $1.35$ 或 $0.45$，都保持正值。对已知历史条件化，下一乘数的平均是 $(1.35+0.45)/2=0.9$，故 $$𝔼[M_{n+1}\mid {ℱ}_n]=0.9M_n\le M_n.$$ 因此它是非负上鞅，普通期望为 $0.9^n$。若连续三次正增量，数值仍会增长到 $1.35^3=2.460375$；期望下降不等于所有路径都下降。

两条教学路径说明一次增长不违背条件平均损耗。点线为期望，路径并非围绕期望的确定误差带。

变式。 把每步损耗系数 $0.9$ 改为一，则乘数为 $1.5,0.5$，平均为一，过程成为正鞅。再把系数改为 $1.1$，条件平均变为 $1.1M_n$，属于次鞅而非上鞅。

有限停止时刻的期望界

若停时 $\tau \le N$，展开 $$M_{\tau }-M_0=\sum _{k=1}^N{1}_{\{\tau \ge k\}}(M_k-M_{k-1}).$$ 指示变量属于 ${ℱ}_{k-1}$，取条件期望后，每项平均不大于零，故 $𝔼[M_{\tau }]\le 𝔼[M_0]$。这个有限和证明只用上鞅的可积性与停时条件，不需要非负；但若令无界停时直接代入等式，仍会遇到交换极限的问题。

非负上鞅的跨阈值界

现在加上 $M_n\ge 0$，令 $\tau$ 为首次达到 $a>0$ 的时刻。对每个有限 $N$，有 $$aPr(\tau \le N)\le 𝔼[M_{\tau \wedge N}]\le 𝔼[M_0].$$ 第一步在已经越界时使用 $M_{\tau }\ge a$，在未越界时使用 $M_N\ge 0$。让 $N$ 增大，事件 $\{\tau \le N\}$ 递增到“某时刻越界”，所以 $$Pr(\underset{n\ge 0}{sup}{M}_n\ge a)\le \frac{𝔼[M_0]}{a}.$$ 若上确界等于阈值却没有在有限时刻达到，可先对任意 $b<a$ 使用已证界，再令 $b$ 递增到 $a$，便得到上述包含等号的上确界版本。这称为Ville型极大不等式；证明没有直接假设 $𝔼[M_{\tau }]$ 一定等于初值。

在乘法算例中，初值为一，达到二的概率不超过二分之一。若只看前三步，实际只有三个正增量的路径达到二，概率为 $1/8$；界限虽不紧，仍同时控制无限多次查看过程的越界机会。

非负假设有实质作用。公平有符号随机游走初值零，却会以正概率到达一；若把初值零代入上述非负过程的界，会错误地得出越界概率为零。用于序贯检验时，还必须在原假设下证明所构造过程是非负上鞅，不能仅凭一条下降轨迹就套用该界。