亥姆霍兹方程

亥姆霍兹方程（Helmholtz equation）是一类含有固定频率参数的二阶线性偏微分方程。它常由波动方程在单一频率下分离时间变量得到，用于描述声场、电磁场分量及其他周期振动的空间分布。与静态扩散问题相比，它的解可以振荡；在有界区域，频率接近固有频率时还会出现共振及唯一性失效。

例如，固定两端的一维振动系统受到与第一振型同形状的周期驱动。驱动频率较低时，响应与驱动同相；越过第一固有频率后，响应会反相；恰好共振时，理想无阻尼系统不再存在有界的单频稳态响应。用一个正弦函数就可以把这三种情况算出来。

固定频率的空间方程

本文采用符号约定 $$\Delta U+k^{2}U=-f,\text{即}(-\Delta -k^2)U=f.$$ 其中 $U(x)$ 是空间振幅，允许取复数；$k\ge 0$ 为波数，单位是长度的倒数；$f(x)$ 是驱动源。拉普拉斯算子为 $\Delta =\sum _j{\partial }_{x_j}^2$。有些文献把源写在另一侧，比较公式时须同时比较算子与源项的符号。

设介质波速为常数 $c>0$，角频率为 $\omega \ge 0$，驱动为单频形式，波动方程写为 $$u_{tt}=c^2\Delta u+\mathrm{Re}\{s(x)e^{-i\omega t}\}.$$ 试取 $u(x,t)=\mathrm{Re}\{U(x)e^{-i\omega t}\}$。两次对时间求导相当于乘以 $-{\omega }^2$，因此 $$-{\omega }^{2}U=c^2\Delta U+s,k=\frac{\omega }{c},f=\frac{s}{c^2}.$$ 这就得到上述亥姆霍兹方程。复数只用于同时记录振幅和相位，物理量取实部。固定频率模型不包含随初值而来的全部瞬态振动；没有阻尼时，瞬态也未必自动衰减。

在有界区域，还需给出边界条件，如固定端或声压释放边界对应的零 Dirichlet 条件，或法向导数为零的 Neumann 条件。在无限区域，通常要规定能量向外传播的辐射条件，仅要求远处振幅趋零还不够。

固定两端区间的受迫响应

考虑无量纲区间 $0<x<1$，令 $$-U^{″}-k^{2}U=\sin (\pi x),U(0)=U(1)=0.$$ 右端正好是第一正弦振型，试取 $U=A\sin (\pi x)$。因为 $-U^{″}={\pi }^{2}A\sin (\pi x)$，所以 $$({\pi }^2-k^2)A=1,U(x)=\frac{\sin (\pi x)}{{\pi }^2-k^2},k\ne \pi .$$ 这给出一个特解；要判断它是否为唯一解，还需检查齐次问题。

齐次方程 $W^{″}+k^{2}W=0$ 在 $k>0$ 时的一般解为 $C\sin (kx)+D\cos (kx)$。左端条件给出 $D=0$，右端条件给出 $C\sin k=0$。故只有在 $k=n\pi$，$n=1,2,\dots$ 时才有非零齐次解；其他波数下特解唯一。$k=0$ 时齐次解为线性函数，两个零端点仍使其恒为零，所以零不是本例的共振波数。拉普拉斯算子的特征值及边界条件的作用可参见 Stanford 的讲义。

k/π=0.5、0.9、1.1 的响应。分母改变大小和符号，因此峰值与相位都依赖频率，而不只是空间形状。

当 $k=\pi /2$ 时，中心振幅为 $4/(3{\pi }^2)\approx 0.1351$；当 $k=0.9\pi$ 时为 $1/(0.19{\pi }^2)\approx 0.5333$；当 $k=1.1\pi$ 时为 $-1/(0.21{\pi }^2)\approx -0.4825$。负号表示相对驱动发生半个周期的反相，不表示振幅的绝对大小为负。

归一化系数 π²A=1/(1−(k/π)²)。曲线在共振附近没有有限值；图仅画出纵轴范围内的部分，虚线表示 k/π=1。

共振时的相容与不唯一

在 $k=\pi$ 时，上面的分母为零。这不只是候选形式选择不当；本题确实无解。假设存在满足端点条件的光滑解，把方程乘以 $\sin (\pi x)$ 并积分。两次分部积分，利用两者在端点都为零，得到 $${\int }_0^1(-U^{″}-{\pi }^{2}U)\sin (\pi x)\mathrm{d}x={\int }_0^{1}U(-(\sin \pi x{)}^{″}-{\pi }^2\sin \pi x)\mathrm{d}x=0.$$ 但右端积分为 ${\int }_0^1{\sin }^2(\pi x)\mathrm{d}x=1/2$，矛盾。因此不存在这样的单频解。在原始时间问题中，共振驱动可以造成随时间增长的响应；这与“稳态空间问题无解”相吻合。

在另一个共振波数 $k=2\pi$，同样的驱动却与第二振型正交： $${\int }_0^1\sin (\pi x)\sin (2\pi x)\mathrm{d}x=0.$$ 此时特解存在，而且可以加上任意齐次解： $$U(x)=-\frac{\sin (\pi x)}{3{\pi }^2}+C\sin (2\pi x),C\in ℂ.$$ 代回方程，第二项完全抵消；两项在端点也均为零。因此这里是可解但不唯一。共振不是所有源都产生无解，而是算子的零空间出现后，源必须满足相容条件。

一般地，在适合自伴谱理论的有界区域与齐次边界条件下，若 $$-\Delta {\varphi }_n={\lambda }_n{\varphi }_n$$ 构成正交归一特征系统，源和解的系数应满足 $$({\lambda }_n-k^2)U_n=f_n.$$ 非共振时逐模相除；共振时，所有满足 ${\lambda }_n=k^2$ 的模态都要求 $f_n=0$。即使可解，相应的 $U_n$ 仍可自由选择。这个系数计算解释了相容性与不唯一性；无限级数表示还需要相应的收敛与函数空间条件。

能量恒等式及其限制

对零 Dirichlet 边界，将 $(-\Delta -k^2)U=f$ 乘以复共轭 $\bar{U}$ 并积分，取实部得 $${\int }_{\Omega }|\mathrm{\nabla }U{|}^2\mathrm{d}x-k^2{\int }_{\Omega }|U{|}^2\mathrm{d}x=\mathrm{Re}{\int }_{\Omega }f\bar{U}\mathrm{d}x.$$ 边界项因 $U=0$ 消失。这与 Poisson 方程的能量式相比，多了一个带负号的项，所以不能在任意频率下直接用“左端非负”证明唯一性。

若区域的第一 Dirichlet 特征值为 ${\lambda }_1$，且 $k^2<{\lambda }_1$，Poincaré 不等式给出 $$\int |\mathrm{\nabla }U{|}^2-k^2\int |U{|}^2\ge ({\lambda }_1-k^2)\int |U{|}^2.$$ 对两个解的差，右端源为零，故差只能为零。高于第一特征值但仍未碰到任何特征值时，也可以唯一可解，只是这个简单的正性估计不再足够。这一区分也是使用能量估计时必须检查的条件。

无界空间的出射波

在三维全空间、$k>0$ 时，采用时间因子 $e^{-i\omega t}$ 的出射格林函数为 $$G(x)=\frac{e^{ikr}}{4\pi r},r=|x|,(-\Delta -k^2)G={\delta }_0.$$ 等号按分布意义理解。对 $r>0$，径向拉普拉斯为 $G^{″}+2G^{\prime }/r$，求导可验证它等于 $-k^{2}G$。原点附近的首项为 $1/(4\pi r)$，给出与 $-\Delta$ 基本解相同的单位点源强度。核前的符号因算子约定而定。

实部的相位为 $kr-\omega t$。保持相位不变，得到 $r=(\omega /k)t+\text{常数}$，所以波向外传播。改成 $e^{-ikr}$ 则为入射波；两者的幅度都随 $1/r$ 减小，因此仅靠“远处趋零”无法区分。

k=2.5、波速 c=1，画出 4π 倍的实部，即 cos(kr−ωt)/r。包络为 ±1/r；原点有点源奇性，图从 r=0.5 开始。

三维 Sommerfeld 辐射条件可写为 $$r({\partial }_{r}U-ikU)⟶0,r\to \mathrm{\infty },$$ 并按相应外域问题要求其方向上一致性等条件。对出射核，${\partial }_{r}G-ikG=-G/r$，乘以 $r$ 后趋零；入射核则保留一个非衰减的主项。辐射条件及算子 $-\Delta -k^2$ 的出射约定可参见 Huang 等人的论文。

含耗散介质通常会引入复系数，响应峰不再表现为理想无阻尼模型的无限尖峰。把实际阻尼、边界吸收或频率相关材料参数略去时，应说明这是理想化；不能仅靠避开一个分母为零的数值来替代物理建模。