傅里叶变换与频谱峰识别

傅里叶变换把随时间或位置变化的信号表示为不同频率的分量；对有限、等间隔样本常用离散傅里叶变换（DFT）。频谱峰可帮助寻找周期、薄膜干涉条纹间距或机械振动频率，但一个最大峰不自动等于唯一的物理原因：采样、趋势、窗口和噪声都可能改变峰形。

八点信号的完整计算

设每秒采样 $f_{s} = 8$ 次，共 $N = 8$ 点， $n = 0, \dots, 7$ ，信号为 $x_{n} = 1 + \cos (2 π n / 8) .$ 它含常量 1 和一个每秒 1 周期的余弦。DFT 定义为 $X_{k} = \sum_{n = 0}^{N - 1} x_{n} e^{- 2 π i k n / N}, k = 0, \dots, N - 1.$ 将余弦展开为两个复指数： $\cos (2 π n / 8) = [e^{2 π i n / 8} + e^{- 2 π i n / 8}] / 2$ 。对每个整数 $m$ ，有限等比级数 $\sum_{n = 0}^{7} e^{2 π i m n / 8}$ 在 $m$ 为 8 的倍数时等于 8，否则为 0。因此 $X_{0} = 8$ ， $X_{1} = X_{7} = 4$ ，其余 $X_{k} = 0$ （数值计算时可能是极小舍入残差）。图中的时间样本和频率柱是一回事的两种读法，不是两套独立数据。

八个等间隔样本组成一个余弦周期并有常数基线，离散频谱在零号、一号与七号频点非零，分别为八、四、四 — 去掉常量基线后，正负频率对应同一个实余弦周期。

频率格点为 $f_{k} = k f_{s} / N$ ；本例 $Δ f = f_{s} / N = 1 H z$ 。 $X_{0} / N = 1$ 是常量均值；对于非直流且非奈奎斯特频点，实信号的一侧幅值为 $2 | X_{k} | / N$ ，故 1 Hz 余弦幅值为 $2 (4) / 8 = 1$ 。 $k = 7$ 是 1 Hz 的负频率对应点，不应再当成一个独立的 7 Hz 物理振动。

可运行的八点 DFT

下面只用 Python 标准库复算上例。输入是八个实数，不改写输入；直接求和的时间成本 $O (N^{2})$ 、输出空间 $O (N)$ ，适合解释定义。长序列应使用快速傅里叶变换（FFT），其成本约为 $O (N \log N)$ 。

Python 3

import cmath
import math

def dft(samples):
    n = len(samples)
    if n == 0:
        return []
    return [
        sum(value * cmath.exp(-2j * math.pi * k * j / n)
            for j, value in enumerate(samples))
        for k in range(n)
    ]

samples = [1 + math.cos(2 * math.pi * j / 8) for j in range(8)]
spectrum = dft(samples)
for k, value in enumerate(spectrum):
    print(k, round(abs(value), 6))

输出中只有 0 8.0、1 4.0 与 7 4.0 非零；其他行是 0.0。若把所有样本都乘以二，DFT 的每个 $X_{k}$ 也乘二；若只增加一个常量，只改变 $X_{0}$ ，这是线性性和常数基线的直接检查。

采样混叠、截断泄漏与峰位

采样间隔是 $Δ t = 1 / f_{s}$ 。对实余弦， $\cos [2 π (f_{s} - f) n / f_{s}] = \cos (2 π f n / f_{s})$ ；在每秒 8 次采样时，1 Hz 与 7 Hz 的这两个余弦在采样点上完全一样。没有额外先验或提高采样率，就不能由这些离散点区分它们。通常先限制原信号带宽低于 $f_{s} / 2$ ，并在采样前做抗混叠处理；仅把序列补零不会恢复已经混叠的频率。

若真实频率不是 $Δ f$ 的整数倍，例如在同样八点、1 秒窗口中是 1.5 Hz，截取的序列在窗口两端通常不能无缝衔接，DFT 能量会分散到邻近频点，称为频谱泄漏。可以先去均值或去基线、选择合适窗函数并说明其主瓣宽度与幅值修正，再比较峰位。补零会把离散频谱曲线插得更密，却不增加这 1 秒观测中的独立信息；提高真实分辨能力要延长观测时长，并核查频率在观察期内是否稳定。

若用于光谱条纹或振动检测，先标明自变量究竟是时间、波长、波数还是空间距离；“峰在 2”只有写上 Hz 或 ${m m}^{- 1}$ 才有物理意义。对噪声信号还应估计峰位不确定度，并在独立记录、不同窗口及有无去趋势处理下复核。非均匀采样不能直接按上述等间隔 DFT 公式给出频率轴。

参考资料与相关词条

SciPy：周期图的采样频率、窗口、去趋势和频谱单位。
相关：单位圆与三角函数、数列、时间序列建模与滚动预测、波的干涉。