向量混合积与体积

三个三维向量 $u,v,w$ 从同一点出发，可作一个平行六面体：$u,v$ 张成底面，$w$ 指向上方的顶点。混合积（scalar triple product）$(u\times v)\cdot w$ 是一个有符号的数；它的绝对值恰是这个立体的体积。

底面积乘垂直高度

底面积为 $|u\times v|$。令单位法向量 $n=(u\times v)/|u\times v|$，则 $w$ 在法向方向的有符号高度是 $w\cdot n$。当 $u\times v\ne 0$ 时，体积因而为 $$V=|u\times v||w\cdot n|=|(u\times v)\cdot w|.$$ 若底面退化，$u\times v=0$，体积和右边同为零，公式仍成立。图中斜着的边 $w$ 不一定等于高；高是沿法向的投影。

体积取底面积乘虚线高度，不能把斜边长度直接当高度。

一个可逐步核对的例子

延用向量的外积的 $u=(1,0,1)$、$v=(0,2,1)$，再取 $w=(1,1,3)$。已算得 $u\times v=(-2,-1,2)$，于是 $$(u\times v)\cdot w=-2\cdot 1-1\cdot 1+2\cdot 3=3.$$ 底面积为 3；单位法向量是 $n=(-2,-1,2)/3$，所以 $w\cdot n=1$。底面积乘高 $3\cdot 1=3$，与混合积一致。若将 $w$ 改为 $-w$，几何体积仍为 3，但混合积变为 $-3$，负号仅记录朝向。

这个有向数允许循环换序：$(u\times v)\cdot w=(v\times w)\cdot u=(w\times u)\cdot v$，因为三种写法对应行列式列的循环排列。只交换其中两项则改变符号。画图时“同一立体”为何可能给出正负两个数，原因就在所选的列顺序；普通体积始终取绝对值。

三阶行列式与共面条件

把三个向量按列排成矩阵 $A=[uvw]$。沿第一行展开会得到 $$detA=u_1(v_2{w}_3-v_3{w}_2)-v_1(u_2{w}_3-u_3{w}_2)+w_1(u_2{v}_3-u_3{v}_2)=(u\times v)\cdot w.$$ 中间一式也可按三列轮换重排来验证。因此三阶行列式是有向体积。若 $detA=0$，三向量线性相关，即从同一起点看都落在某个过原点的平面内；反过来，共面时一个向量能由另外两个线性组合表示，混合积为零。若前两个本来共线，也属于这一情形。

若以同一顶点和三条边 $u,v,w$ 构成四面体，其体积是平行六面体的六分之一，故为 $|detA|/6$。可以先把平行六面体沿一条体对角线分成相同体积的六个四面体；这里的 $1/6$ 不能省掉。继续从行列式看体积缩放，或用克拉默法则把行列式用于求方程组。

在上例中，这个四面体的体积为 $3/6=1/2$。若改取 $w^{\prime }=u+v=(1,2,2)$，则 $(u\times v)\cdot w^{\prime }=-2-2+4=0$。这时 $w^{\prime }$ 落在 $u,v$ 的底面内，所谓立体压扁成平面，体积为零。若三向量很接近共面但不完全共面，混合积的绝对值就很小；这解释了为什么几乎共面的三元方程在数值计算中容易敏感，但敏感程度还取决于向量的长度与尺度，不能仅看一个未经归一化的行列式数值。

参考资料

• OpenStax，Calculus Volume 3，§2.4 The Cross Product：混合积与平行六面体体积。
• MIT OpenCourseWare，18.06SC，Determinants 单元：行列式的体积意义。
• 继续阅读：行列式、线性相关与线性无关。