勒贝格控制收敛定理

勒贝格控制收敛定理（Lebesgue dominated convergence theorem），也称支配收敛定理，给出把极限移入积分的一组充分条件：函数列几乎处处收敛，并且所有函数的绝对值都不超过同一个可积函数。它还保证函数列在 $L^1$ 意义下收敛，也就是绝对误差的积分趋于零。定理不要求函数列单调，不要求一致收敛，也不要求整个空间的测度有限。

这里的“控制”指对每个位置的函数值作统一估计，不是只给出每一项积分的上界。一个衰减的振荡积分可以把这一区别算清楚。

衰减振荡中的共同包络

对实参数 $t$，考虑 $$F(t)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}\cos (tx)\mathrm{d}x.$$ 其中 $x$ 是积分变量，$t$ 改变振荡频率。若一列参数 $t_n$ 趋于 $t$，对每个固定的 $x$，余弦函数的连续性给出 $$e^{-x}\cos (t_{n}x)⟶e^{-x}\cos (tx).$$ 但“每个位置的值接近”还没有单独证明整个积分接近。对所有参数都成立的估计是 $$|e^{-x}\cos (t_{n}x)|\le e^{-x},x\ge 0.$$ 右侧不依赖 $n$，而且 $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}\mathrm{d}x=1.$$ 因此所有被积函数都落在同一个可积包络 $g(x)=e^{-x}$ 内。控制收敛定理将据此保证 $F(t_n)\to F(t)$。

图中三条振荡曲线分别对应参数 t=2、5/4、1；点线给出 ±g。包络对所有参数都有效，不只是对图中的三个值有效。

作为可以直接复算的检查，取 $t_n=1+1/n$。先不交换任何极限与积分。在有限区间上，一个可直接求导核验的原函数是 $$P_t(x)=\frac{e^{-x}(-\cos (tx)+t\sin (tx))}{1+t^2}.$$ 在 $0$ 与 $R$ 之间代入后，含 $e^{-R}$ 的端点项趋于零，故 $$F(t)=\frac{1}{1+t^2}.$$ 例如

$n$	$t_n$	$F(t_n)$
1	2	$1/5$
2	$3/2$	$4/13$
4	$5/4$	$16/41$
$n\to \mathrm{\infty }$	$1$	$1/2$

这个结果与控制收敛给出的 $F(t_n)\to F(1)$ 相符。显式积分核对本例的数值；一般定理的证明则不依赖每个积分都能求出原函数。

定理的完整条件

设 $(X,\Sigma ,\mu )$ 是测度空间，$f_n:X\to ℝ$ 和 $f:X\to ℝ$ 均可测。假设

• $f_n(x)\to f(x)$ 对几乎所有 $x$ 成立；
• 存在非负可积函数 $g:X\to [0,\mathrm{\infty })$，使 $|f_n(x)|\le g(x)$ 对所有 $n$ 几乎处处成立。

第二条的可积是指 $${\int }_{X}g\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }.$$ 由于下标可数，每一项可以有自己的零测例外集；取它们的可数并，就能在同一个零测集之外同时使用所有不等式。

控制收敛定理断言，$f_n$ 与 $f$ 都可积，且 $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_X|f_n-f|\mathrm{d}\mu =0.$$ 特别地， $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_X{f}_n\mathrm{d}\mu ={\int }_{X}f\mathrm{d}\mu .$$ 第一条结论称为 $L^1$ 收敛，比这里只要求的有符号积分收敛更强；它不允许正负误差仅靠相互抵消来变小。

由法图引理证明绝对误差趋于零

证明的工具是法图引理，它处理非负可测函数列的下极限。此处先把需要控制的误差放入一个非负函数，再使用该引理。

证明。 在一个共同零测集之外，所有支配不等式和收敛关系同时成立。取极限得到 $|f|\le g$，所以 $$\begin{array}{cc}{\int }_X|f_n|\mathrm{d}\mu & \le {\int }_{X}g\mathrm{d}\mu ,\\ {\int }_X|f|\mathrm{d}\mu & \le {\int }_{X}g\mathrm{d}\mu .\end{array}$$ 这些积分均有限。记 $$G={\int }_{X}g\mathrm{d}\mu ,A_n={\int }_X|f_n-f|\mathrm{d}\mu .$$ 由三角不等式，$0\le |f_n-f|\le 2g$ 几乎处处，因此 $0\le A_n\le 2G$。

在上述零测集之外定义 $$q_n=2g-|f_n-f|.$$ 它非负，且由 $f_n\to f$ 得到 $q_n\to 2g$。在例外集上把 $q_n$ 设为零，不影响积分。法图引理给出 $$\begin{array}{cc}2G& \le \underset{n}{lim\; inf}{\int }_X{q}_n\mathrm{d}\mu \\ & =\underset{n}{lim\; inf}(2G-A_n)\\ & =2G-\underset{n}{lim\; sup}{A}_n.\end{array}$$ 由于 $G$ 有限，可以消去 $2G$，得到 $lim\; sup{A}_n\le 0$。再由 $A_n\ge 0$，便有 $A_n\to 0$。

最后使用积分的线性与三角不等式， $$|{\int }_X(f_n-f)\mathrm{d}\mu |\le A_n⟶0.$$ 这就同时证明了绝对误差积分趋于零及有符号积分收敛。整个证明没有对未定义的 $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ 作运算：所有消去的项都由 $G<\mathrm{\infty }$ 保证为有限量。

极限代表的可测性

上面的定理明确假定所用的 $f$ 可测。在实际问题中，若一列可测函数只在可测零测集 $N$ 之外有有限极限，可把每一项在 $N$ 上统一改为零；这样得到的列仍可测，并且处处收敛，其极限 $f_0$ 也可测。这个 $f_0$ 是可用的极限代表。

在完备测度空间中，与 $f_0$ 几乎处处相等的函数仍可测。若空间不完备，任意指定零测集内部的值却可能破坏可测性，所以不能未经检查就把任何几乎处处相等的代表都当成可测函数。所有已经可测且几乎处处相等的代表，其积分相同。

参数变化、误差估计与积分内求导

回到 $F(t)$。前面已经用同一个 $e^{-x}$ 控制任意参数序列，因而证明了 $F$ 在每个实数 $t$ 处连续。还可以对两参数 $s,t$ 作更具体的估计。由拉格朗日中值定理， $$|\cos (sx)-\cos (tx)|\le |s-t|x.$$ 乘以 $e^{-x}$ 并积分，得到 $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}|\cos (sx)-\cos (tx)|\mathrm{d}x\le |s-t|.$$ 这里使用了 ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}x{e}^{-x}\mathrm{d}x=1$，可由分部积分算出。特别地，主例中 $t_n=1+1/n$ 的 $L^1$ 误差不超过 $1/n$。控制收敛定理本身只给出收敛；这个速度来自对具体函数额外作出的估计。

变式：计算 $F^{\prime }(t)$。 被积函数对参数可微还不够，必须检查差商能否由同一个可积函数控制。固定 $t$，对 $h\ne 0$ 令 $$D_h(x)=e^{-x}\frac{\cos ((t+h)x)-\cos (tx)}{h}.$$ 逐点有 $$D_h(x)⟶-x{e}^{-x}\sin (tx)(h\to 0),$$ 而同一个中值定理给出 $$|D_h(x)|\le x{e}^{-x},x\ge 0.$$ 右侧积分为一，不依赖 $h$。因此，对任意趋于零的非零实数列 $h_n$ 都可以使用控制收敛；由极限的序列判别，差商的极限为 $$F^{\prime }(t)=-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x{e}^{-x}\sin (tx)\mathrm{d}x.$$ 再对已经算出的 $F(t)=1/(1+t^2)$ 求导，便得到答案 $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}x{e}^{-x}\sin (tx)\mathrm{d}x=\frac{2t}{(1+t^2{)}^2}.$$ 例如 $t=1$ 时积分为 $1/2$；$t=0$ 时被积函数恒为零，结果也为零。此处换序成立的理由是差商的共同支配函数，而非仅仅观察到形式导数存在。

积分有界与共同支配的区别

对 $n\ge 2$，在 $[0,1]$ 上定义三角峰 $$b_n(x)=nmax\{1-n|x-1/2|,0\}.$$ 峰顶位于 $x=1/2$，高度为 $n$；底边长度为 $2/n$，在支撑端点取零。因此每项都有 $${\int }_0^1{b}_n(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{n}\cdot n=1.$$ 若 $x\ne 1/2$，当 $n>1/|x-1/2|$ 时已经落在峰的支撑之外，故 $b_n(x)=0$ 最终成立。只有中心点的值趋于无穷大，所以 $b_n\to 0$ 几乎处处，但 $${\int }_0^1{b}_n\mathrm{d}x=1⟶̸{\int }_0^{1}0\mathrm{d}x=0.$$

峰越来越高，支撑越来越窄，面积保持一。几乎处处极限为零；中心 x=1/2 是零测例外点，在那里没有有限极限。

这列函数满足 $\underset{n}{sup}\int |b_n|=1$，却不能用控制收敛定理。若存在一个可积的 $g$ 同时支配它们，已证明的定理就会迫使这些积分趋于零，与上面的直接计算矛盾。因此“绝对值积分统一有界”并不能替代“被同一个可积函数逐点支配”。

寻找支配函数时，还须在实际空间上检查可积性。例如有限测度空间上的常数上界确实可积；整条实线上的常数上界则通常不可积。主例使用 $e^{-x}$ 的衰减，而不是只使用 $|\cos (tx)|\le 1$，正是为了控制半无限区间上的全部积分。

控制收敛是一组充分条件，不是每一次积分收敛都必须经过的检验。没有找到共同支配函数时，仍可直接估计绝对误差，或检查其他适用的收敛定理；不能反过来断言积分必定不收敛。