法图引理

法图引理（Fatou's lemma）是比较函数列的下极限与积分的定理。对非负可测函数列，先逐点取下极限再积分，所得结果不超过先积分再取下极限。函数列可以不单调，甚至不收敛；定理保证的是一个方向的不等式，并不自动允许交换极限与积分。

理解这个方向，可以从一列在两个形状之间交替的函数开始。它的每一项都有不小的积分，但在每个位置上，都有另一类项取得较低的值。

两种形状交替出现

在区间 $[0,2]$ 上使用勒贝格测度，记底部函数为 $b(x)=x/2$。再定义 $$\begin{array}{cc}a(x)& =b(x)+2{\mathrm{𝟏}}_{[0,1)}(x),\\ c(x)& =b(x)+3{\mathrm{𝟏}}_{[1,2]}(x).\end{array}$$ 其中 ${\mathrm{𝟏}}_E$ 是集合 $E$ 的指示函数：在集合内取一，在外部取零。令奇数项都等于 $a$，偶数项都等于 $c$： $$f_{2m-1}=a,f_{2m}=c(m\ge 1).$$

实线与虚线分别表示交替出现的两种形状；下方点线是它们的逐点较小值 b。取较小值时，左半段选的是 c，右半段选的是 a。

对任意固定的 $x$，两种值都在后续无限次出现。因此 $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}{f}_n(x)=min\{a(x),c(x)\}=b(x).$$ 这里没有声称 $f_n(x)$ 收敛。实际上，每个位置都在两个不同的值之间交替。

底部函数的积分是 $${\int }_0^{2}b(x)\mathrm{d}x={\left[\frac{x^2}{4}\right]}_0^2=1.$$ 附加高台各占长度为一的区间，故 $${\int }_0^{2}a(x)\mathrm{d}x=1+2=3,$$ $${\int }_0^{2}c(x)\mathrm{d}x=1+3=4.$$ 于是两种顺序得到 $${\int }_0^2\underset{n}{lim\; inf}{f}_n(x)\mathrm{d}x=1,$$ $$\underset{n}{lim\; inf}{\int }_0^2{f}_n(x)\mathrm{d}x=3.$$ 这给出严格不等式 $1<3$。逐点取下极限可以在不同位置选取不同子列；先积分则每次必须使用一整项函数。二者所作的选择不同，因而结果不必相等。

定理中的对象与不等式

设 $(X,\Sigma ,\mu )$ 是测度空间，$f_n:X\to [0,\mathrm{\infty }]$ 是一列可测函数。法图引理断言 $${\int }_X\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}{f}_n\mathrm{d}\mu \le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}{\int }_X{f}_n\mathrm{d}\mu .$$ 所有积分均为非负的勒贝格积分，允许等于 $+\mathrm{\infty }$。定理不要求 $\mu (X)$ 有限，也不要求每一项的积分有限。

对每个固定的 $x$，函数列的下极限定义为 $$\underset{n}{lim\; inf}{f}_n(x)=\underset{N\ge 1}{sup}\underset{k\ge N}{inf}{f}_k(x).$$ 先删去前 $N-1$ 项，再看剩余项能有多低；随后不断向后移动起点。它不是“选定某一个下标后，在所有位置使用这一项”，也不是要求某一项恰好取得下确界。可数上确界、下确界保持可测性，所以左边确实是一个可测函数的积分。

若另外知道 $f_n\to f$ 逐点成立，便有 $lim\; inf{f}_n=f$，从而得到常用形式 $${\int }_{X}f\mathrm{d}\mu \le \underset{n}{lim\; inf}{\int }_X{f}_n\mathrm{d}\mu .$$ 例如已知每项非负且积分不超过同一个有限数 $C$，就能推出极限函数可积，并且其积分也不超过 $C$。这仍只是上界，不能据此把不等号改成等号。

从尾部下确界到单调收敛

法图引理把任意非负函数列转换成一个递增列，再使用单调收敛定理。定义 $$h_N(x)=\underset{k\ge N}{inf}{f}_k(x).$$ 这一步保留的是从第 $N$ 项起的共同下包络。开头的例子中，每一个尾部仍含有 $a$ 和 $c$，所以所有 $h_N$ 都等于 $b$。

证明。 每个 $h_N$ 可测且非负。删去更多项后，取下确界的集合缩小，故 $$0\le h_N\le h_{N+1},h_N\uparrow \underset{n}{lim\; inf}{f}_n.$$ 单调收敛定理给出 $$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_X{h}_N\mathrm{d}\mu ={\int }_X\underset{n}{lim\; inf}{f}_n\mathrm{d}\mu .$$

另一方面，对每个 $k\ge N$ 都有 $h_N\le f_k$。由积分的单调性， $${\int }_X{h}_N\mathrm{d}\mu \le \underset{k\ge N}{inf}{\int }_X{f}_k\mathrm{d}\mu .$$ 令 $N\to \mathrm{\infty }$，右侧按照数列下极限的定义趋向 $\underset{n}{lim\; inf}{\int }_X{f}_n\mathrm{d}\mu$；结合前式便得结论。

证明从头到尾只比较非负量，没有用某个无穷大减去另一个无穷大。即使部分积分为 $+\mathrm{\infty }$，这些比较仍然有效。它也没有假设“下确界与积分可交换”；上面那一步本来就只是 $\int inf\le inf\int$。

等号、下极限与收敛的区别

把主例改成 $$u_n(x)=\frac{x}{2}+\frac{2+(-1{)}^n}{n},0\le x\le 2.$$ 附加项始终为正且趋于零，于是 $u_n(x)\to x/2$。直接计算 $${\int }_0^2{u}_n(x)\mathrm{d}x=1+\frac{2(2+(-1{)}^n)}{n}⟶1.$$ 这次法图引理的两侧都等于一，虽然 $u_1(0)=1$、$u_2(0)=3/2$、$u_3(0)=1/3$，函数列并不单调。等号可以成立于单调收敛之外。

这个变式还能检查下确界的含义。对每个固定的 $N$，后续的正附加项可以任意接近零，所以 $$\underset{k\ge N}{inf}{u}_k(x)=x/2.$$ 但没有任何有限下标 $k$ 使 $u_k(x)=x/2$；下确界存在不等于最小值被取到。

若需要保证通常的积分极限等式，应检查更强的条件。非负递增列由单调收敛定理处理；由同一个可积函数控制的几乎处处收敛列，则可使用勒贝格控制收敛定理。主例虽然有界，但没有逐点极限，所以不能套用后者。

非负性与共同可积下界

非负性可以推广为一个共同的可积下界，但不能直接删去。在实直线上取 $$r_n(x)=-\frac{1}{n}{\mathrm{𝟏}}_{[0,n]}(x).$$ 对所有 $x$ 都有 $|r_n(x)|\le 1/n$，因此 $r_n$ 甚至一致收敛到零。可是 $${\int }_{ℝ}{r}_n(x)\mathrm{d}x=-\frac{1}{n}\cdot n=-1.$$ 若错误地对这个有符号列使用原式，便会得到 $0\le -1$。

负台越来越浅，却同时越来越宽。每个固定位置的函数值趋于零，整条实线上的积分仍为 −1。虚线竖边仅标示支撑端点。

每项虽都不低于常数 $-1$，但这个常数在整条实线上不可积。事实上，不存在共同的可积下界：若 $h\le r_n$ 对所有 $n$ 几乎处处成立，则在 $(k-1,k]$ 上取 $n=k$ 得到 $h^{-}\ge 1/k$ 几乎处处成立，其中 $h^{-}=max\{-h,0\}$。于是 $${\int }_{ℝ}{h}^{-}\mathrm{d}x\ge \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}=\mathrm{\infty }.$$ 这与 $h$ 可积矛盾。一个逐点的常数下界，和一个在给定测度空间上可积的下界，是不同要求。

反过来，若实值可测函数列满足 $f_n\ge h$，其中 $h$ 可积，就能对非负列 $f_n-h$ 使用法图引理。由于 $\int h$ 是有限实数，可以从两侧消去这一有限项，得到同样的不等式 $${\int }_X\underset{n}{lim\; inf}{f}_n\mathrm{d}\mu \le \underset{n}{lim\; inf}{\int }_X{f}_n\mathrm{d}\mu .$$ 此时每项的负部被 $h^{-}$ 控制，积分不会出现 $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$。这说明推广中真正需要的是可积的统一下界，而非每个函数各自具有某个下界。

几乎处处版本

非负性和极限关系只在零测集之外成立也足够。若每项的例外集可测且测度为零，可先取这些例外集的可数并，再在这个共同零测集上把各函数一律设为零。修改后的函数仍可测，各积分不变，就能使用上面的证明。

若直接把结论写成关于某个几乎处处极限 $f$ 的积分，则还须确保这个 $f$ 可测；在非完备测度空间上，不能随意改动零测集的任意子集而自动保留可测性。保留 $lim\; inf{f}_n$ 作为可测代表，或事先假定所用极限代表可测，都能使表述明确。