可测函数

可测函数（measurable function）是把目标空间中的可测集合，按原像拉回后仍得到定义域中可测集合的函数。它要求“输出落在指定集合中”这一条件，能够在定义域上作为一个可测集合来处理。可测性取决于两边选定的 σ 代数，不要求函数连续，也不要求预先给每个集合赋予具体测度。

对实值函数，目标空间通常取实数及其 Borel σ 代数。这样，“函数值小于某个阈值”的条件是可测的，便成为检验可测性的一个具体入口。

有限空间中的可分辨性

设定义域有五个元素 $$X=\{p,q,r,s,t\},$$ 但只承认由两组 $A=\{p,q\}$、$B=\{r,s,t\}$ 拼成的集合为可测集合： $$\Sigma =\{\varnothing ,A,B,X\}.$$ 这是一个 σ 代数：补集交换 $A,B$，任意可数并仍只可能得到这四个集合。它能区分两组，却不能单独区分同组内的元素。

定义实值函数 $f$：在 $A$ 上取一，在 $B$ 上取三。对任意实数集合 $E$，原像 $f^{-1}(E)$ 只由 $E$ 是否包含一、三决定：分别可能是空集、$A$、$B$ 或 $X$。因此 $f$ 对 Borel 目标可测。

再把同组中的一个输出改掉，得到 $g$：

元素	$p$	$q$	$r$	$s$	$t$
$f$	1	1	3	3	3
$g$	1	2	3	3	3

目标区间 $(-\mathrm{\infty },3/2)$ 的原像为 $$g^{-1}((-\mathrm{\infty },3/2))=\{p\}.$$ 这个集合不属于 $\Sigma$，所以 $g$ 不可测。问题不是数值二本身特殊，而是这个输出区间把原来不能分开的 $p,q$ 分开了。

图中展示可测的 f。目标轴的阴影区间拉回为 A；多个元素取同一个值不妨碍定义原像，f也不需要有反函数。

变式。 保留 $g$ 的数值，改用定义域上的全部子集 $𝒫(X)$ 作为 σ 代数，则所有原像都可测，$g$ 变为可测。若保留原 $\Sigma$，但目标空间只承认 $\varnothing ,ℝ$ 两个集合，可测性也成立，因为仅需检查空集和全域的原像。函数没有改变，改变的是两边准许区分的集合。

可测空间与原像定义

一般地，设 $(X,\Sigma )$、$(Y,𝒯)$ 是两个可测空间，即各自配有 σ 代数。函数 $f:X\to Y$ 称为 $(\Sigma ,𝒯)$ 可测，如果 $$f^{-1}(E)\in \Sigma (E\in 𝒯).$$ 其中 $$f^{-1}(E)=\{x\in X:f(x)\in E\}$$ 称为集合 $E$ 的原像。这一记号不要求 $f$ 一一对应；它与求一个反函数是不同操作。测度是在可测集合上进一步赋值，可测函数的定义此时还没有使用这些值。

实数上的 Borel σ 代数 $ℬ(ℝ)$ 是包含全部开集的最小 σ 代数。若未另作说明，本条的实值可测函数均以它作为目标 σ 代数。对定义在 ${ℝ}^d$ 上的实值函数，定义域可以配 Borel σ 代数，也可以配更大的勒贝格 σ 代数；前者称 Borel 可测，后者称勒贝格可测。两者不能只凭函数值的表达式区别，必须看指定的定义域结构。

生成族判别的证明

若 $𝒯=\sigma (𝒢)$ 由某族集合 $𝒢$ 生成，检验 $f$ 可测时只需检查 $E\in 𝒢$ 的原像。这里的“只需”有一个完整的集合论理由。

令 $$𝒞=\{E\subseteq Y:f^{-1}(E)\in \Sigma \}.$$ 原像保持补集与可数并： $$\begin{array}{cc}{f}^{-1}(Y\setminus E)& =X\setminus f^{-1}(E),\\ f^{-1}\left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n\right)& =\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}^{-1}(E_n).\end{array}$$ 又有 $f^{-1}(Y)=X$，所以 $𝒞$ 本身是 $Y$ 上的 σ 代数。若生成族的原像全部在 $\Sigma$ 中，即 $𝒢\subseteq 𝒞$，由最小性得 $$𝒯=\sigma (𝒢)\subseteq 𝒞.$$ 这便把生成族上的检查推广到整个目标 σ 代数；没有假定每个 Borel 集都能用有限次操作写出来。

有理阈值足以检验实值函数

对函数 $f:X\to ℝ$，以下条件等价：

• $f$ 对 $ℬ(ℝ)$ 可测。
• 对每个有理数 $q$，集合 $\{x:f(x)<q\}$ 属于 $\Sigma$。

必要性来自半直线 $(-\mathrm{\infty },q)$ 是开集。充分性可先在目标轴上证明这些半直线生成所有 Borel 集。利用有理数的稠密性，对任意实数 $a$， $$(-\mathrm{\infty },a)=\bigcup _{q\in \mathbb{Q},q<a}(-\mathrm{\infty },q).$$ 每个并集只有可数多个成员。再用 $$(-\mathrm{\infty },a]=\bigcap _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(-\mathrm{\infty },a+1/m)$$ 便能形成开区间 $(a,b)=(-\mathrm{\infty },b)\setminus (-\mathrm{\infty },a]$。每个实数开集又是其内部有理端点开区间的可数并。因此这些半直线生成全部开集，也就生成 $ℬ(ℝ)$；应用上一节的生成族判别即可。

等价地，可以检查所有实阈值的 $\{f\le a\}$、$\{f>a\}$ 或 $\{f\ge a\}$。例如 $$\{f\le a\}=\bigcap _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\{f<a+1/m\},$$ 其余形式再由补集及可数并得到。这里的集合记号 $\{f<a\}$ 是 $\{x\in X:f(x)<a\}$ 的简写，不是一个数值不等式。

在开头的有限例子中，阈值 $3/2$ 已足以否定 $g$。但检查有限几个阈值合格，并不能在一般实值问题中代替“每个有理阈值”的条件。

连续性、复合与代数运算

若两个拓扑空间都配 Borel σ 代数，连续函数一定可测：目标开集的原像是定义域开集，再由生成族判别得到全部 Borel 原像的可测性。可测性只要求原像属于 σ 代数，允许原像不是开集，因此比连续性宽松。

可测函数的复合须使用相同的中间 σ 代数。设 $$\begin{array}{cc}f& :(X,\Sigma )\to (Y,𝒯),\\ g& :(Y,𝒯)\to (Z,𝒰)\end{array}$$ 都可测。对任意 $E\in 𝒰$，先有 $g^{-1}(E)\in 𝒯$，再有 $$(g\circ f{)}^{-1}(E)=f^{-1}(g^{-1}(E))\in \Sigma .$$ 所以 $g\circ f$ 可测。特别地，实值可测函数外接一个 Borel 可测函数仍可测；连续的平方、绝对值等变换属于这种情况。若外层函数只说“勒贝格可测”，其开集原像可能不是 Borel 集，而内层函数未必能够拉回这样的目标集合；不能省略中间 σ 代数的匹配条件。

若 $f,g$ 都是有限实值可测函数，和函数也可测。对任意实数 $a$，有 $$\{f+g<a\}=\bigcup _{q\in \mathbb{Q}}(\{f<q\}\cap \{g<a-q\}).$$ 从左向右看，$f(x)<a-g(x)$，可在两数之间选一个有理数 $q$；反方向把两个严格不等式相加即可。右侧是可数个可测交集的并，故可测。实数倍可直接用阈值比较检验；再由 $$fg=\frac{(f+g{)}^2-f^2-g^2}{2}$$ 得到乘积可测。有限实值条件使这些代数运算没有 $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ 等未定义情形。

逐点极限保持可测性

设有限实值可测函数 $f_n$ 在每个 $x\in X$ 处收敛到实数 $f(x)$。那么 $f$ 可测。关键是把极限条件改写成可数集合操作，而不是把“取极限”当作无需解释的新运算。

对任意实数 $a$，准确的集合恒等式是 $$\{f>a\}=\bigcup _{q\in \mathbb{Q},q>a}\bigcup _{N=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcap _{n\ge N}\{f_n>q\}.$$ 若 $f(x)>a$，先在 $a$ 与 $f(x)$ 之间选择有理数 $q$，随后 $f_n(x)>q$ 最终成立。反之，若从某个 $N$ 起始终有 $f_n(x)>q>a$，取极限得到 $f(x)\ge q>a$。两方向均成立。右侧只有可数并与可数交，因而可测，再用阈值判别完成证明。

中间的有理数间隔不可随意删除。例如 $f_n=1/n$ 对每个 $n$ 都大于零，极限却不大于零；仅写成“最终 $f_n>a$”不能表达严格的极限不等式。

作为完整例子，在 $[0,1]$ 上取连续函数 $f_n(x)=x^n$。对 $0\le x<1$，几何数列 $x^n$ 趋于零；在 $x=1$ 处始终为一。因此逐点极限是 $$f(x)=\{\begin{array}{cc}0,& 0\le x<1,\\ 1,& x=1.\end{array}$$ 它在端点一不连续，却是 Borel 集 $\{1\}$ 的指示函数，因而可测。任意包含一的相对邻域都还有函数值为零的点，说明了不连续的位置；极限的可测性则由原像条件或上述定理共同保证。

虚线和端点标记表示极限函数；在 (1,0) 的空心点不属于极限图像，在 (1,1) 的实心点属于。有限条曲线仅作示意，逐点极限由每个固定 x 的计算决定。

变式。 把定义域改成 $[0,1)$，同一列函数的逐点极限便处处为零，且连续；但它仍不一致收敛，因为每个 $n$ 的 $\underset{0\le x<1}{sup}{x}^n=1$。逐点可测性定理不要求一致收敛，也不承诺极限连续。

在概率论中，实值随机变量正是从概率空间到 Borel 实数空间的可测函数；阈值原像因此成为可赋概率的事件。分析中，简单函数由有限个可测水平集构成，再通过极限逼近更一般的函数。能否给这些函数赋予有限积分，还需指定测度并检查可积性，可测性本身没有保证这一点。

相关条目

• 测度、勒贝格测度：可测集合及其大小。
• 简单函数、零测集：分层近似及忽略零测集时的条件。
• 随机变量、函数的连续性、数列的极限。