圆锥曲线与直线的交点

求圆锥曲线与直线的交点，通常把直线方程代入曲线方程，再解一元方程。代数步骤并不复杂，关键是弄清未知数代表哪个坐标、根是否给出不同的点，以及“只有一个交点”是否真的意味着相切。

用参数统一处理各个方向

设直线经过 $P_0=(x_0,y_0)$，方向向量为 $(u,v)\ne (0,0)$。直线上的每个点都能唯一写成 $$x=x_0+ut,y=y_0+vt,t\in ℝ.$$ 把它代入一般圆锥曲线方程 $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$，合并同类项，会得到 $\alpha t^2+\beta t+\gamma =0$。其中二次项系数只由直线的方向与曲线的二次部分决定： $$\alpha =A{u}^2+Buv+C{v}^2.$$ 若 $\alpha \ne 0$，判别式 $\delta ={\beta }^2-4\alpha \gamma$ 分别为正、零、负时，有两个、一个重根、没有实交点。曲线在重根对应点光滑时，直线与曲线在该点相切；这是圆锥曲线的切线的一种代数检验。这里的 $\delta$ 是代入直线后的一元方程判别式，不要与一般二次曲线的 $B^2-4AC$ 混为一谈。

椭圆上的割线、切线和外侧直线

看椭圆 $x^2/4+y^2=1$ 与水平线 $y=k$。代入后 $$\frac{x^2}{4}+k^2=1,x^2=4(1-k^2).$$ 若 $|k|<1$，有两个交点 $(\pm 2\sqrt{1-k^2},k)$；例如 $k=1/2$ 时是 $(\pm \sqrt{3},1/2)$。当 $k=1$，两点合为顶点 $(0,1)$，直线 $y=1$ 为切线；当 $|k|>1$，右边为负数，没有实交点。图中依次画了 $y=1/2$、$y=1$ 和 $y=7/5$，对应两点、相切和不相交。

同一椭圆与三条平行直线的交点数分别为二、一、零；橙色的 y=1 是顶点处的切线。

椭圆的二次部分 $u^2/4+v^2$ 对非零方向总为正，因此任一真实直线代入后确实是二次方程。双曲线则有不同情形。

双曲线只有一个交点的反例

对双曲线 $x^2-y^2=1$，取直线 $y=x+1$。代入得 $$x^2-(x+1{)}^2=1,-2x-1=1,(x,y)=(-1,0).$$ 这里仅有一个有限交点，但直线并非切线。在 $(-1,0)$，对 $F=x^2-y^2-1$ 求偏导，法向量是 $(-2,0)$，真正的切线为 $x=-1$。给定直线斜率为一，与竖直切线方向不同。

原因是这条直线平行于渐近线 $y=x$。它的方向 $(u,v)=(1,1)$ 使 $\alpha =u^2-v^2=0$，二次项抵消，代入后只剩一元一次方程；一个根不能称为“重根”。因此“只交一次就是切线”必须附上二次系数非零及交点光滑等条件。若原曲线退化为两条直线，一条候选直线甚至可能是曲线的一整条分支，出现无穷多个交点。

自己复算一组平移的直线

固定抛物线 $y^2=8x$，令直线为 $y=2x+k$，其中 $k$ 可以改变。由 $x=(y-k)/2$ 代入， $$y^2=4(y-k),(y-2{)}^2=4(1-k).$$ 因此 $k<1$ 有两个交点，$k=1$ 相切于 $(1/2,2)$，$k>1$ 没有实交点。把 $(1/2,2)$ 代回原式，$2^2=8(1/2)=4$；再用圆锥曲线的切线公式核验，此处 $p=2$，切线是 $2y=4(x+1/2)$，也就是 $y=2x+1$。两个计算路径给出相同答案。

参考资料

• OpenStax，《Precalculus 2e》，§10.1 The Ellipse，用于核对椭圆的标准方程与轴长。
• OpenStax，《Precalculus 2e》，§10.2 The Hyperbola，用于核对双曲线与渐近线。
• OpenStax，《Calculus Volume 1》，§3.8 Implicit Differentiation，用于核对光滑点的切线判定。
• MIT OpenCourseWare，18.900 第 21 讲 Intersections of Algebraic Curves，用直线参数代入多项式，说明二次曲线与直线至多有两个交点，以及直线成为曲线分支时的例外。