圆锥曲线的切线

圆锥曲线的切线是在曲线上某个光滑点处，与曲线具有相同瞬时方向的直线。长轴沿水平方向的椭圆，在长轴端点处的切线是竖直的；抛物线顶点处也可能出现竖直切线。因此只背斜率公式不够：斜率不存在时，切线仍然存在。

从方程读出切线

设圆锥曲线由一个二次多项式的方程 $F (x, y) = 0$ 给出， $P = (x_{0}, y_{0})$ 在曲线上。若 $F_{x} (P)$ 与 $F_{y} (P)$ 不同时为零， $P$ 是正则点。把坐标从 $P$ 移动很小的 $(h, k)$ ，二次多项式的展开恰好是 $\begin{matrix} F (x_{0} + h, y_{0} + k) \\ = F (P) + F_{x} (P) h + F_{y} (P) k \\ + R_{2} (h, k) . \end{matrix}$ 其中 $R_{2} (h, k)$ 只含 $h, k$ 的二次项。这里 $F (P) = 0$ 。但有限位移 $(h, k)$ 通常并不使一次项恰好为零，还要经过极限。记位移长度为 $ρ = \sqrt{h^{2} + k^{2}}$ ；由于余项是二次的， $R_{2} (h, k) / ρ \to 0$ 。若沿曲线趋近 $P$ 时单位位移 $(h / ρ, k / ρ)$ 趋于方向 $(u, v)$ ，把上式除以 $ρ$ 后取极限，就得到 $F_{x} (P) u + F_{y} (P) v = 0.$ 非零梯度保证该点附近的曲线光滑，见隐函数定理。因此切线沿着与梯度垂直的方向通过 $P$ ，其方程为 $F_{x} (P) (x - x_{0}) + F_{y} (P) (y - y_{0}) = 0.$ 向量 $(F_{x} (P), F_{y} (P))$ 垂直于这条直线，称为法向量。若 $F_{y} (P) \neq 0$ ，移项得到斜率 $y^{'} = - F_{x} (P) / F_{y} (P)$ ，这与隐函数求导相同；若 $F_{y} (P) = 0$ 而 $F_{x} (P) \neq 0$ ，切线就是 $x = x_{0}$ 。

三种标准方程

把上式用于原点为中心、坐标轴与对称轴重合的曲线，得到下表。表中的 $P = (x_{0}, y_{0})$ 必须满足同一行的曲线方程，否则所写直线不能叫该曲线在 $P$ 处的切线。

曲线及参数条件	在 $P$ 处的切线
椭圆 $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1$ ， $a, b > 0$	$x_{0} x / a^{2} + y_{0} y / b^{2} = 1$
双曲线 $x^{2} / a^{2} - y^{2} / b^{2} = 1$ ， $a, b > 0$	$x_{0} x / a^{2} - y_{0} y / b^{2} = 1$
抛物线 $y^{2} = 4 p x$ ， $p \neq 0$	$y_{0} y = 2 p (x + x_{0})$

以椭圆为例，对 $F = x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} - 1$ 求偏导，再代入通式，得到 $2 x_{0} (x - x_{0}) / a^{2} + 2 y_{0} (y - y_{0}) / b^{2} = 0$ 。利用 $x_{0}^{2} / a^{2} + y_{0}^{2} / b^{2} = 1$ ，才化成表中的简洁写法。双曲线只需把第二个平方项换号。对抛物线取 $F = y^{2} - 4 p x$ ，得到 $- 4 p (x - x_{0}) + 2 y_{0} (y - y_{0}) = 0$ ；再用 $y_{0}^{2} = 4 p x_{0}$ ，便得到第三行。这样可以检查公式里的符号与系数，而不用把三式分别死记。

两个可核算的切点

椭圆 $x^{2} / 16 + y^{2} / 9 = 1$ 上的 $P = (12 / 5, 12 / 5)$ 确实在曲线上，因为 $9 / 25 + 16 / 25 = 1$ 。代入切线式， $\frac{3}{20} x + \frac{4}{15} y = 1, 9 x + 16 y = 60.$ 还可以检验它只接触椭圆而不穿过：把任一椭圆点写成单位向量 $(x / 4, y / 3)$ ，点 $P$ 也对应单位向量 $(3 / 5, 4 / 5)$ 。由柯西不等式，两向量的内积 $3 x / 20 + 4 y / 15 \leq 1$ ，等号仅在两向量相同时成立，故这条直线与椭圆仅在 $P$ 相遇。

对 $y^{2} = 4 x$ ，取 $P = (1, 2)$ ，切线式给出 $y = x + 1$ 。代回曲线， $(x + 1)^{2} = 4 x$ ，即 $(x - 1)^{2} = 0$ ，交点在代数计算中出现两次。图中的金色直线正是在 $P$ 处与曲线同方向的直线。

抛物线y平方等于4x和在点一二处的切线y等于x加一，另画顶点的竖直切线x等于零 — 在 P=(1,2) 处，金色切线与抛物线同方向；在顶点 O 处，切线是 x=0，不能用有限斜率表示。

在顶点 $(0, 0)$ 处，抛物线的法向量为 $(- 4, 0)$ ，切线为 $x = 0$ 。直接套 $y^{'} = 2 / y$ 会除以零，正则点通式却没有问题。相反，退化方程 $x^{2} - y^{2} = 0$ 在原点的两个偏导都为零；那里经过两条直线 $y = x$ 与 $y = - x$ ，没有唯一切线。圆锥曲线与直线的交点还说明，某些双曲线与直线只有一个有限交点，那条直线也未必是切线。

参考资料

OpenStax，《Calculus Volume 1》，§3.8 Implicit Differentiation，给出隐式求导与曲线切线的联系。
MIT OpenCourseWare，18.01SC，Session 13: Implicit Differentiation，提供隐式曲线的求导方法。
OpenStax，《Precalculus 2e》，§10.3 The Parabola，核对焦点、顶点与标准式约定。