圆锥曲线的焦点与准线

焦点与准线给出描述圆锥曲线的一种统一方法：固定平面上一点 $F$ 和一条不经过它的直线 $ℓ$ ，寻找所有满足 $P F = e d (P, ℓ), e > 0$ 的点 $P$ 。这里 $d (P, ℓ)$ 是点到直线的垂直距离， $e$ 称为离心率。 $e < 1$ 、 $e = 1$ 、 $e > 1$ 分别给出椭圆、抛物线、双曲线；这一分类必须建立在焦点不在准线上的前提下。

点到直线的垂直距离

若准线写成 $A x + B y + C = 0$ ，其中 $A^{2} + B^{2} > 0$ ，则 $(A, B) / \sqrt{A^{2} + B^{2}}$ 是单位法向量。点 $P = (x_{0}, y_{0})$ 到直线的有向位移沿此方向，投影长度为 $(A x_{0} + B y_{0} + C) / \sqrt{A^{2} + B^{2}}$ ；取绝对值便是距离： $d (P, ℓ) = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$ 例如对竖直准线 $x = 6$ ，距离是 $| x_{0} - 6 |$ ；对斜线 $x + y - 3 = 0$ ，距离是 $| x_{0} + y_{0} - 3 | / \sqrt{2}$ 。绝不能把“任选准线上一点量斜线段”当作点到线的距离。

一般焦点 $F = (u, v)$ 与准线 $A x + B y + C = 0$ 的轨迹方程因此是 $(x - u)^{2} + (y - v)^{2} = \frac{e^{2} (A x + B y + C)^{2}}{A^{2} + B^{2}} .$ 两边原本都是非负距离，平方以后也没有额外的符号分支需要剔除。这个等式显示焦点—准线定义总会给出一个二次方程；反过来，一般二次方程还要先排除退化情形，才能称为椭圆、抛物线或双曲线。

保持焦点和准线不动，只改变 e

为看清三类曲线从何而来，把焦点固定在 $F = (0, 0)$ ，准线固定为 $x = d$ ，其中 $d > 0$ 。点 $P = (x, y)$ 应满足 $\sqrt{x^{2} + y^{2}} = e | x - d |$ 。平方并收集同类项： $(1 - e^{2}) x^{2} + y^{2} + 2 e^{2} d x - e^{2} d^{2} = 0.$ 从此处开始， $e$ 的三种范围会让 $x^{2}$ 的系数变正、变零或变负，正是三类曲线分开的代数原因。

当 $0 < e < 1$ ，令 $q = 1 - e^{2} > 0$ 。把上式的 $x$ 部分配方，得到 $q {(x + \frac{e^{2} d}{q})}^{2} + y^{2} = \frac{e^{2} d^{2}}{q},$ 再除以右边，便是 $\frac{(x + e^{2} d / q)^{2}}{e^{2} d^{2} / q^{2}} + \frac{y^{2}}{e^{2} d^{2} / q} = 1.$ 两个平方项都带正号，轨迹是椭圆，中心为 $(- e^{2} d / q, 0)$ ，半长轴 $a = e d / q$ 、半短轴 $b = e d / \sqrt{q}$ 。由 $a^{2} - b^{2} = e^{4} d^{2} / q^{2}$ 可知中心到焦点的距离为 $c = e^{2} d / q$ ，故 $c / a = e$ ；原点确是它的右焦点。

当 $e = 1$ ，上式中的 $x^{2}$ 项消失，成为 $y^{2} = d^{2} - 2 d x = - 2 d (x - \frac{d}{2}) .$ 这是顶点 $(d / 2, 0)$ 、开口向左的抛物线。按 $y^{2} = 4 p (x - h)$ 的约定， $p = - d / 2$ ，焦点 $(h + p, 0) = (0, 0)$ ，准线 $x = h - p = d$ ，与出发条件完全一致。

当 $e > 1$ ，改令 $q = e^{2} - 1 > 0$ 。同样配方，但 $x^{2}$ 的符号已相反： $q {(x - \frac{e^{2} d}{q})}^{2} - y^{2} = \frac{e^{2} d^{2}}{q},$ 即 $\frac{(x - e^{2} d / q)^{2}}{e^{2} d^{2} / q^{2}} - \frac{y^{2}}{e^{2} d^{2} / q} = 1.$ 这是中心 $(e^{2} d / q, 0)$ 的双曲线； $a = e d / q$ 、 $b = e d / \sqrt{q}$ 、 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = e^{2} d / q$ ，原点是它的左焦点，且 $c / a = e$ 。我们只是将两个非负距离平方，所以上述两支都满足原始的绝对值条件，并非平方产生的假解。

一幅图核对一组非轴上的距离

令 $d = 6$ 、 $e = 1 / 2$ 。前面的公式给 $q = 3 / 4$ 、中心 $(- 2, 0)$ 、 $a = 4$ 、 $b^{2} = 12$ ，于是轨迹为 $\frac{(x + 2)^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1.$ 图中选 $P = (0, 3)$ ；代入方程得到 $4 / 16 + 9 / 12 = 1$ 。它到焦点 $F = (0, 0)$ 的距离为 3，向准线 $x = 6$ 作垂线、垂足 $H = (6, 3)$ ，得 $P H = 6$ 。所以 $P F / P H = 3 / 6 = 1 / 2$ ，与指定的 $e$ 一致。

焦点F在原点，竖直虚线准线x等于6，椭圆上点P为零三，垂足H为六三，PF长度3，PH长度6 — 焦点—准线定义中的两段距离应从同一个曲线点 P 量起；PH 垂直准线。

保持 $F = (0, 0)$ 与 $x = 6$ 不变，只把 $e$ 改成 1，上述通式给出 $y^{2} = - 12 (x - 3)$ ；顶点 $(3, 0)$ 到焦点、准线都相距 3。若改成 $e = 2$ ，则 $q = 3$ ，得到 $(x - 8)^{2} / 16 - y^{2} / 48 = 1$ ；左顶点 $(4, 0)$ 到焦点距离 4，到准线距离 2，比值为 2。三个算例只改变一个比例，就先后得到封闭、单向伸展、双支伸展三种轨迹。

准线朝向改变时

坐标推导不依赖准线一定竖直。若焦点仍在原点而准线为 $y = d > 0$ ，只需把前面的 $x, y$ 对换：等式变成 $x^{2} + (1 - e^{2}) y^{2} + 2 e^{2} d y - e^{2} d^{2} = 0$ ，对称轴改为竖直。若焦点和准线一起平移、旋转，形状类型与 $e$ 不变，只是方程中出现一次项或交叉项。

例如 $F = (1, 3)$ 、准线 $y = - 1$ 、 $e = 1$ ，等距条件是 $\sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2}} = | y + 1 |$ 。平方后 $(x - 1)^{2} = 8 (y - 1)$ ，顶点为 $(1, 1)$ ，向上开口。取 $P = (5, 3)$ ，它到焦点的距离为 4，到水平准线的距离也为 4。画图或写方程前先找准线的法向方向，就不容易把开口方向猜反。

当 $e = 0$ 且准线仍在有限位置时，方程只留下焦点这一个点，不能得到圆。圆作为椭圆的离心率零的极限，须让相关准线同时退向无穷远，详见离心率。

参考资料

OpenStax，《Calculus Volume 3》§1.5 Conic Sections，列出焦点、准线、离心率及三类圆锥曲线的关系。
MIT OpenCourseWare，16.07 Dynamics，第15讲 Conic Sections，从焦点—准线距离比推导曲线形状。