离心率

离心率是描述圆锥曲线形状的无量纲参数，通常记作 $e$ 。对非圆椭圆和双曲线，设中心到焦点的距离为 $c$ ，长半轴或实半轴的长度为 $a$ ，则 $e = c / a$ ；对抛物线， $e = 1$ 。它不表示曲线有多大，也不表示焦点到准线的绝对距离。同一条曲线平移、旋转或等比例放大以后，离心率仍然相同。

从焦点和准线定义这个比值

取曲线的一个焦点 $F$ 和与它对应的一条准线 $ℓ$ 。若曲线上每个点 $P$ 都满足 $P F = e d (P, ℓ),$ 则这个固定的正数 $e$ 就是离心率； $d (P, ℓ)$ 必须沿垂线量。非圆椭圆和双曲线各有两组对应的焦点、准线，任选一组得到同一个 $e$ ；抛物线有一组。关于距离到一般直线的计算与这个条件如何生成标准方程，见圆锥曲线的焦点与准线。

这个定义解释了三类曲线的分界： $0 < e < 1$ 得椭圆， $e = 1$ 得抛物线， $e > 1$ 得双曲线。它不是单靠观察开口大小做的分类：改变绘图比例可能改变视觉印象，却不会改变同一条曲线的距离比。

椭圆：半短轴也由 e 决定

水平长轴的椭圆满足 $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1$ ，其中 $a > b > 0$ 、 $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ 。因此 $e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}}, \frac{b}{a} = \sqrt{1 - e^{2}} .$ 这给出一个可检验的形状解释：在半长轴 $a$ 固定时， $e$ 越接近 1，半短轴 $b$ 相对越小； $e$ 越接近零，两条半轴越接近。这里说的是轴长的比，不是说任何 $e$ 较大的椭圆都比另一条椭圆更窄，因为两者也可能采用不同尺度。

例如 $x^{2} / 100 + y^{2} / 64 = 1$ 有 $a = 10, b = 8, c = \sqrt{100 - 64} = 6$ ，所以 $e = 3 / 5$ 。右焦点为 $(6, 0)$ ，对应准线为 $x = a^{2} / c = 50 / 3$ 。在右顶点 $P = (10, 0)$ ，到焦点的距离为 4，到准线的距离为 $50 / 3 - 10 = 20 / 3$ ，比值恰为 $4 / (20 / 3) = 3 / 5$ 。在非顶点处比值也一样；这不是顶点独有的巧合，而是整条曲线的性质。

双曲线：不要把 b 当成纵轴截距

水平实轴的双曲线满足 $x^{2} / a^{2} - y^{2} / b^{2} = 1$ ，其中 $a, b > 0$ 、 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ 。所以 $e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} > 1, \frac{b}{a} = \sqrt{e^{2} - 1} .$ 这里 $b / a$ 同时是渐近线 $y = \pm (b / a) x$ 的斜率绝对值； $b$ 不是曲线与纵轴的截距，因为双曲线根本不与纵轴相交。

例如 $x^{2} / 16 - y^{2} / 9 = 1$ 有 $a = 4, b = 3, c = 5, e = 5 / 4$ 。右焦点 $(5, 0)$ 对应的准线是 $x = a^{2} / c = 16 / 5$ ；在右顶点 $P = (4, 0)$ ，两段距离分别是 $P F = 1$ 与 $d (P, ℓ) = 4 / 5$ ，比值为 $5 / 4$ 。渐近线斜率为 $\pm 3 / 4$ ，也与 $\sqrt{e^{2} - 1} = 3 / 4$ 一致。

抛物线与圆这两个边界

抛物线的定义本来就是到焦点和准线等距，所以 $e = 1$ 。例如焦点 $F = (0, 2)$ 、准线 $y = - 2$ 给出 $x^{2} = 8 y$ 。取曲线上点 $P = (4, 2)$ ： $P F = 4$ ，点到准线的垂距也是 4，故比值为 1。只给出 $e = 1$ 不能确定抛物线的顶点位置、开口方向或大小；焦点与准线的位置仍不可少。

圆通常约定离心率为 $0$ ，因为椭圆在 $c \to 0$ 时两焦点重合、 $b \to a$ ，方程趋于 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 。但不能在有限焦点—准线条件 $P F = e d (P, ℓ)$ 中直接令 $e = 0$ ：右边变为零，满足条件的点只剩焦点 $F$ 。对固定的 $a$ ，椭圆对应准线 $x = \pm a^{2} / c$ 会随着 $c \to 0$ 退向无穷远；圆的 $e = 0$ 应理解为这个极限，而不是一条有限准线产生的圆。

尺度检验与使用边界

把前面的椭圆所有坐标放大两倍，得到 $x^{2} / 400 + y^{2} / 256 = 1$ ；它的 $a, b, c$ 变为 $20, 16, 12$ ，但 $c / a = 12 / 20 = 3 / 5$ 不变。一般地，等比例放大 $λ > 0$ 倍时，所有长度同时乘 $λ$ ，长度比不变。反过来，同一个 $e$ 不能告诉我们曲线的绝对大小。若把横纵坐标使用不同的缩放比例，形状本身已变，离心率通常也会变。

利用 $e$ 分类时还要先确认所给方程确实表示一条非退化实圆锥曲线。一个二次方程可能表示两条直线、单点或空集；只从系数猜出一个貌似的轴比，再套用离心率公式会误判。一般二次式的检查见圆锥曲线。

参考资料

OpenStax，《Calculus Volume 3》§1.5 Conic Sections，给出椭圆、双曲线的准线及 $e = c / a$ 、抛物线的等距定义。
MIT OpenCourseWare，16.07 Dynamics，第15讲 Conic Sections，从焦点—准线距离比讨论椭圆、抛物线、双曲线的分界。