弗雷歇分布

弗雷歇分布（Fréchet distribution）是具有幂律右尾的第二型极值分布。本文使用下端点为零的形式，形状 $\alpha >0$、尺度 $s>0$。它可作为独立幂尾样本最大值经过倍数缩放后的极限；这与指数样本最大值需要减去对数中心的耿贝尔分布不同。

倒幂指数构造

取率一指数变量 E，令 $X=s{E}^{-1/\alpha }$。因为该变换严格递减，对 $x>0$， $$F(x)=Pr(X\le x)=Pr(E\ge (s/x{)}^{\alpha })=\exp [-(s/x{)}^{\alpha }].$$ 在 $x\le 0$ 处 F 为零；正无穷处 F 趋于一。求导得到 $$f(x)=\frac{\alpha }{s}(x/s{)}^{-\alpha -1}{e}^{-(x/s{)}^{-\alpha }},x>0.$$ 从指数变量的变换或CDF两端极限均可验证归一化。闭支撑为 $[0,\mathrm{\infty })$，零点没有点质量。SciPy 将这一分布命名为 invweibull，形状为 α，scale=s, loc=0。

零附近密度受指数项抑制，右尾则为幂尾；曲线不在有限上端点结束。

当 x 很大，利用 $1-e^{-a}\sim a$（$a\downarrow 0$），右尾满足 $$Pr(X>x)=1-e^{-(s/x{)}^{\alpha }}\sim (s/x{)}^{\alpha }.$$ 这与第一型帕累托分布的精确幂尾不同：这里是无穷远渐近等价，不是在所有 x 上相等。尤其零附近，弗雷歇分布由指数因子抑制密度，而帕累托模型有严格正的下端点。

幂尾样本的最大值极限

设 $Y_1,\dots ,Y_n$ 独立同分布于下界一、尾指数 α 的帕累托分布，记最大值为 $M_n$。对固定 $x>0$，当 n 足够大时， $$Pr(\frac{M_n}{n^{1/\alpha }}\le x)={(1-\frac{x^{-\alpha }}{n})}^n⟶e^{-x^{-\alpha }}.$$ 因此极限为尺度一的弗雷歇分布。有限 n 下只有 $x\ge n^{-1/\alpha }$ 时才使用幂公式，支撑以下概率为零。这里增长量级是 $n^{1/\alpha }$，直接减去 $\log n$ 不能得到相同的非退化极限。

α=2，有限 n=4、25 在各自支撑外取零，极限为 exp(−x^(−2))。

取 $\alpha =2,x=1$，n=4 的精确概率为 $(3/4{)}^4=81/256\approx 0.316406$，n=25 时为 $(24/25{)}^{25}\approx 0.360397$，极限为 $e^{-1}\approx 0.367879$。图用这些确切CDF，而非用随机直方图猜测收敛。

矩存在域与数量级

由指数构造，对任意实数 r， $$𝔼X^r=s^r{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^{-r/\alpha }{e}^{-u}\mathrm{d}u=s^r\Gamma (1-r/\alpha ),r<\alpha .$$ 超出此域时，积分在 u=0 附近发散。因此 $\alpha >1$ 才有有限均值 $s\Gamma (1-1/\alpha )$；$\alpha >2$ 才有有限方差 $s^2[\Gamma (1-2/\alpha )-\Gamma (1-1/\alpha {)}^2]$。负阶矩则都有限。

在合成模型 $\alpha =2,s=3$ 中，$Pr(X>6)=1-e^{-1/4}\approx 0.221199$，均值为 $3\sqrt{\pi }\approx 5.317362$，但方差无穷。中位数由 $F(m)=1/2$ 得 $m=3/\sqrt{\log 2}\approx 3.603367$，与均值不同。

作为变式，取九个独立、同为此弗雷歇分布的变量，它们最大值的CDF为 $$F(x{)}^9=\exp [-9(3/x{)}^2]=\exp [-(9/x{)}^2].$$ 所以最大值仍是形状二、尺度九的弗雷歇变量，其中位数是原来的三倍。这里是有限样本下的精确闭合性质；前一节帕累托最大值则只有经过缩放后的极限性质，两者不能混同。

幂尾下少数极大观测可能强烈影响平均与平方偏差。一个有限样本总能算出样本方差，不意味着总体二阶矩存在；相反，某次没观察到极端值，也不能证明尾指数足够大。对真实区组最大值使用本族，还需检查独立同分布等抽样条件和尾形是否支持幂律假设。