熵解

熵解（entropy solution）是满足守恒律弱形式并进一步满足熵不等式的解。弱形式保证守恒量的收支，却可能允许同一初值有多个不同的解；熵条件用一组额外的不等式限制变化的方向。在一维标量守恒律中，它能排除向外产生信息的膨胀跳跃，保留压缩激波与连续展开的稀疏波。

这里采用凸熵的数学约定，将熵残差写为非正；它不能直接当作热力学熵增或信息熵的同一个公式。下文讨论整条实线上的标量方程，先从一个可算清楚的非唯一性例子进入定义。

同一台阶初值的两个弱解

考虑无量纲的伯格斯方程初值问题 $$u_t+{\left(\frac{u^2}{2}\right)}_x=0,u_0(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0,\\ 2,& x>0.\end{array}$$ 其中 $u_0$ 是初始状态，零点处的赋值不影响积分。以下各式的下标一、二分别标记跳跃候选与稀疏波候选。

第一个候选让台阶保持形状，以速度一向右移动： $$u_1(x,t)=\{\begin{array}{cc}0,& x<t,\\ 2,& x>t.\end{array}$$ 为核对守恒，令 $[g]=g(u_R)-g(u_L)$ 表示右态减左态。跳跃速度必须满足 $s[u]=[f]$。本例 $f(u)=u^2/2$，因此 $[u]=2$、$[f]=2$，得到 $s=1$。这确实是一个弱解，而非仅在跳跃以外满足方程的分段函数。

第二个候选把两个常态之间填成斜坡： $$u_2(x,t)=\{\begin{array}{cc}0,& x\le 0,\\ x/t,& 0<x<2t,\\ 2,& x\ge 2t,\end{array}t>0.$$ 扇区中 $u_t=-x/t^2$、$u_x=1/t$，故 $u_t+u{u}_x=0$。它在两条接缝 $x=0$、$x=2t$ 上连续，没有遗漏的跳跃通量，因而也满足弱形式。两者都在局部积分意义下恢复初值：它们与初始台阶的差异只发生在长度随 $t$ 趋零的区间。具体地，对这两个候选都有 $$\begin{array}{cc}{\int }_{ℝ}|u_1(x,t)-u_0(x)|\mathrm{d}x& =2t,\\ {\int }_{ℝ}|u_2(x,t)-u_0(x)|\mathrm{d}x& =2t.\end{array}$$ 这里差函数可积，虽然两个解本身都不在整条实线可积。

实线是稀疏波候选，虚线是向上跳的候选。虚竖线仅标明间断的位置，圆圈不指定间断点的函数值。

在 $t=1,x=1/2$，两者分别取零与 $1/2$，所以它们确实不同。只要求守恒无法完成选择。这样的非唯一性及其熵筛选，是标量守恒律理论中的基本问题。

凸熵与熵通量

对一般方程 $u_t+f(u{)}_x=0$，设通量 $f\in C^2(ℝ)$。选一个二阶连续可微的凸函数 $\eta$，即 ${\eta }^{″}\ge 0$，再定义函数 $q$ 使 $$q^{\prime }(v)={\eta }^{\prime }(v)f^{\prime }(v).$$ 称 $\eta$ 为熵函数，$q$ 为相应的熵通量。$q$ 的加法常数不影响导数或跳跃条件。

对古典解，链式法则给出 $${\partial }_t\eta (u)+{\partial }_{x}q(u)={\eta }^{\prime }(u)(u_t+f^{\prime }(u)u_x)=0.$$ 对于不光滑的弱解，不能直接把链式法则穿过间断。熵条件要求改成分布不等式 $${\partial }_t\eta (u)+{\partial }_{x}q(u)\le 0.$$ 它的准确含义是：用任何非负、光滑且紧支撑的测试函数去测量左端，结果均非正。非负性是关键；若允许测试函数任意变号，分别使用它和它的相反数，就会把不等式强制变成等式。

把导数转移给测试函数，时间零处还要保留初值项。对非负测试函数 $\phi \in C_c^{\mathrm{\infty }}(ℝ\times [0,T))$，它在空间方向及 $T$ 以前紧支撑，在 $t=0$ 允许非零，相应的积分式是 $$\begin{array}{cc}& {\int }_0^T{\int }_{ℝ}(\eta (u){\phi }_t+q(u){\phi }_x)\mathrm{d}x\mathrm{d}t\\ & +{\int }_{ℝ}\eta (u_0(x))\phi (x,0)\mathrm{d}x\ge 0.\end{array}$$ 不等号在分部积分后反向，因此这里是大于等于零。若测试函数支撑完全在正时间内部，第二项为零。

Kružkov 熵族与初值

一维标量情形可以使用一族具体的凸函数。对每个实数 $k$，令 $$\begin{array}{cc}{\eta }_k(v)& =|v-k|,\\ q_k(v)& =\mathrm{sgn}(v-k)(f(v)-f(k)),\end{array}$$ 其中符号函数在零处取零。虽然绝对值在 $v=k$ 不可微，这一对函数仍能用于积分定义，或由光滑凸函数逼近。

在本条采用的有界函数框架中，给定 $u_0\in L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$，Kružkov 熵解指满足守恒律弱形式的 $u\in L^{\mathrm{\infty }}(ℝ\times (0,T))$，并且对每个 $k\in ℝ$ 和上述每个非负 $\phi$ 满足 $$\begin{array}{cc}& {\int }_0^T{\int }_{ℝ}(|u-k|{\phi }_t+q_k(u){\phi }_x)\mathrm{d}x\mathrm{d}t\\ & +{\int }_{ℝ}|u_0(x)-k|\phi (x,0)\mathrm{d}x\ge 0.\end{array}$$ 这里 $L^{\mathrm{\infty }}$ 表示绝对值在零测集之外有统一有限上界；积分不区分仅在零测集上不同的函数。初值也可用强的局部积分迹来表达：对每个有界区间 $K$，当 $t\downarrow 0$ 时，${\int }_K|u(x,t)-u_0(x)|\mathrm{d}x\to 0$，取该熵解的标准时间连续代表。不能只给某些孤立点的初值相等便代替这一条件。

要求所有 $k$，与要求全部凸熵对相配。在 $f\in C^2$、有界初值、整条实线初值问题的框架下，标量熵解存在且唯一；若两个初值之差可积，它们的熵解满足 $L^1$ 收缩 $$\Vert u(\cdot ,t)-v(\cdot ,t){\Vert }_1\le \Vert u_0-v_0{\Vert }_1.$$ 这是一般理论的结论，证明需要局部化及双变量测试方法；下面给出的是具体波形的直接验证，并不以一个例子代替这一存在唯一性定理。

移动跳跃上的熵检验

设两侧为不同常状态 $a=u_L$、$b=u_R$，跳跃位于 $x=st$。对任意函数 $g$，$g(u)$ 的空间变化集中在界面，其系数为 $[g]=g(b)-g(a)$；时间导数还乘上 $-s$。因此 $${\partial }_t\eta (u)+{\partial }_{x}q(u)=([q]-s[\eta ])\delta (x-st).$$ 这里 $\delta (x-st)$ 对测试函数的作用为 $\int \phi (st,t)\mathrm{d}t$，它是非负的界面分布。跳跃满足熵条件，当且仅当相应系数非正。

对 Burgers 通量，取二次熵 $\eta (v)=v^2/2$、$q(v)=v^3/3$，守恒给出 $s=(a+b)/2$。逐步因式分解得 $$\begin{array}{cc}& [q]-s[\eta ]\\ & =\frac{b^3-a^3}{3}-\frac{(a+b)(b^2-a^2)}{4}\\ & =\frac{b-a}{12}[4(a^2+ab+b^2)-3(a+b{)}^2]\\ & =\frac{(b-a{)}^3}{12}.\end{array}$$ 所以开头的向上跳 $0\to 2$ 产生正系数 $2/3$，不满足熵条件。找出一个不合格的凸熵就足以排除它；验算一个凸熵合格，一般不足以替代完整定义。

Burgers 的向下常态跳跃还能对任意光滑凸熵直接验证。若 $a>b$，仍取 $s=(a+b)/2$，则 $$\begin{array}{cc}& [q]-s[\eta ]\\ & =-{\int }_b^a{\eta }^{\prime }(v)(v-s)\mathrm{d}v\\ & =-{\int }_b^a({\eta }^{\prime }(v)-{\eta }^{\prime }(s))(v-s)\mathrm{d}v\le 0.\end{array}$$ 第二步使用 ${\int }_b^a(v-s)\mathrm{d}v=0$。最后一步来自凸性：${\eta }^{\prime }$ 单调，因而 ${\eta }^{\prime }(v)-{\eta }^{\prime }(s)$ 与 $v-s$ 同号，乘积非负。光滑逼近再给出绝对值熵的同一结论。

例如 $a=3,b=1$ 时 $s=2$，二次熵系数是 $-2/3$。左侧特征速度三快于界面，右侧速度一慢于界面；两侧特征都进入跳跃。这是压缩激波的几何方向。

图中从两侧到达金色界面的线代表进入的信息，不再按原状态穿过界面；尚未到达的线只绘至时间一。这个压缩例子的初值与开头向上台阶的初值不同。

稀疏波满足熵条件

回到 $0\to 2$ 的初值。寻找自相似函数 $u(x,t)=w(\xi )$，其中 $\xi =x/t$。在光滑区代入 Burgers 方程： $$\begin{array}{cc}{u}_t& =-\frac{\xi }{t}{w}^{\prime }(\xi ),\\ u_x& =\frac{1}{t}{w}^{\prime }(\xi ),\\ (w-\xi )w^{\prime }& =0.\end{array}$$ 因此每段要么为常状态，要么满足 $w=\xi$。用后者连续连接零与二，就得到开头的 $u_2$，其两条扇边速度分别为零与二。

对任何固定的正时间下界 $\tau >0$，这个解在 $t\ge \tau$ 的有界区域上是 Lipschitz 连续的；扇区内部与外部的光滑区域均有 ${\partial }_t\eta (u_2)+{\partial }_{x}q(u_2)=0$。在两条扇边上，$u_2$ 连续，故 $\eta (u_2)$ 与 $q(u_2)$ 也连续，分部积分时接缝项相消，不产生界面 delta。于是任意光滑凸熵在正时间内部满足等式，绝对值熵可再用凸光滑逼近取得。结合已经算出的初值误差 $2t\to 0$，得到含初值项的熵不等式。这完成了本例稀疏波的熵解验证。

扇区内每条射线 x=ut 携带一个不同的状态 u；外侧的常态特征与扇边相接，不留下需要任选填值的空洞。

变式。 若把开头初值改成左三、右一，在 $t=1/2$ 时应选哪种波形？守恒给出速度 $s=(3+1)/2=2$，熵系数为 $(1-3{)}^3/12=-2/3$，应选位于 $x=1$ 的压缩激波。若反过来左一、右三，则二次熵系数为正，跳跃被排除；稀疏扇位于 $t<x<3t$，在 $t=1/2,x=1$ 取值二。选择取决于两侧状态的顺序，不是只看它们的平均值。

小黏性与定义的适用范围

熵不等式可由小黏性近似看出耗散方向。设 $u^{\epsilon }$ 光滑地满足 $$u_t^{\epsilon }+f(u^{\epsilon }{)}_x=\epsilon u_{xx}^{\epsilon },\epsilon >0.$$ 乘以 ${\eta }^{\prime }(u^{\epsilon })$，并把二阶导数拆开： $$\begin{array}{cc}{\partial }_t\eta (u^{\epsilon })+{\partial }_{x}q(u^{\epsilon })& =\epsilon {\partial }_{xx}\eta (u^{\epsilon })\\ & -\epsilon {\eta }^{″}(u^{\epsilon })(u_x^{\epsilon }{)}^2.\end{array}$$ 最后一项非正。若这些解一致有界，并在局部积分意义下收敛到 $u$，用固定测试函数积分后，第一项变为 $\epsilon \iint \eta (u^{\epsilon }){\phi }_{xx}$，随 $\epsilon \to 0$ 消失。再控制初值收敛，就得到极限的熵不等式。这里说明的是已知相应收敛时熵条件的来源，尚没有独立证明任意黏性近似都收敛。

对于非凸通量，单看两侧特征速度或仅验算一个二次熵可能漏掉不合格的波形，应使用完整的熵定义。对于方程组，熵函数的存在、可用的熵条件与唯一性还取决于系统结构；不能把上述标量存在唯一性定理逐分量套用。计算上同样需要区分“总量守恒”和“熵相容”：一个守恒的离散格式仍可能选择错误的弱解。

相关条目

• 弱解、古典解：方程成立的不同含义。
• 激波、伯格斯方程：移动间断、黏性层与具体模型。
• 特征曲线法、双曲型方程：传播方向与初值数据。